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pas à l’apparence qu’il faut s’en tenir ; on doit toûjours remonter à la valeur fondamentale des signes. On a donc tout ce que l’on s’étoit proposé de démontrer.

Ainsi on peut établir une regle générale très-simple pour la multiplication des signes. Toutes les fois que les quantités qui se multiplient ont le même signe, on écrira + au produit (puisque $\scriptstyle +\times +=+$, & que $\scriptstyle -\times -=+$) ; mais on écrira −, quand elles auront des signes différens ; car $\scriptstyle +\times -=-$ ; &$\scriptstyle -\times +=-$, ainsi qu’on l’a démontré ci dessus.

Nous venons de donner les regles de la multiplication par rapport aux monomes, c’est-à-dire aux quantités algébriques qui n’ont qu’un terme : quant aux polinomes, c’est-à-dire aux quantités algébriques qui ont plusieurs termes, il faut multiplier, comme dans l’Arithmétique, tous les termes du multiplicande par chaque terme du multiplicateur ; on cherche ensuite la somme de tous ces différens produits, en réduisant les quantités semblables, s’il y en a. Voyez Addition & Réduction. Exemple :

$\scriptstyle aa$	$\scriptstyle -$	$\scriptstyle 2ac$	$\scriptstyle +$	$\scriptstyle cc$
		$\scriptstyle \times$
a$\scriptstyle a$	$\scriptstyle -$	$\scriptstyle c$
a$\scriptstyle a^{3}$	$\scriptstyle -$	$\scriptstyle 2a^{2}c$	$\scriptstyle +$	$\scriptstyle ac^{2}$
	$\scriptstyle -$	$\scriptstyle a^{2}c$	$\scriptstyle +$	$\scriptstyle ac^{2}$
a$\scriptstyle a^{3}$	$\scriptstyle -$	$\scriptstyle 3a^{2}c$	$\scriptstyle +$	$\scriptstyle 3ac^{2}$	$\scriptstyle -$	$\scriptstyle c^{3}$… produit total

Pour multiplier $\scriptstyle aa-2ac+cc$ par $\scriptstyle a-c$, on écrira le multiplicateur $\scriptstyle a-c$ sous le multiplicande $\scriptstyle aa-2ac+cc$, comme on le voit dans l’exemple, & tirant une ligne, on dira $\scriptstyle aaxa=a^{3}$, on écrira $\scriptstyle a^{3}$ en supprimant le signe +. Ensuite en multipliant le terme $\scriptstyle -2ac$ par a, en disant $\scriptstyle -x+=-.2acxa=2a^{2}c$ : on écrira donc $\scriptstyle -2a^{2}c$ à la suite de $\scriptstyle a^{3}$. On continuera de multiplier $\scriptstyle +cc$ par a, afin d’avoir $\scriptstyle +ac^{2}$, que l’on mettra à la suite de $\scriptstyle -2a^{2}c$ sous la ligne. Et si le multiplicande contenoit un plus grand nombre de termes, on ne finiroit pas de multiplier par a, à moins que tous les termes du multiplicande n’eussent été multipliés par ce premier terme du multiplicateur. Quand le premier terme du multiplicateur a fait son office, on fait agir de même le second terme -c sur tous les termes du multiplicande ; ainsi l’on dira $\scriptstyle aa\times -c=-a^{2}c$, que l’on écrira, ainsi qu’il est marqué dans l’exemple. On multipliera ensuite −2ac par × −c, en disant − × − = +. $\scriptstyle 2ac\times c=2ac^{2}$ : le produit de $\scriptstyle -2ac$ par $\scriptstyle -c$ est donc $\scriptstyle +2ac^{2}$ ; enfin $\scriptstyle +cc\times -c=-c^{3}$. Tous les termes du multiplicande ayant été multipliés par chaque terme du multiplicateur, on tirera une ligne sous les produits, qui en sont venus ; & faisant la réduction de ces produits, on trouvera que le produit total est $\scriptstyle a^{3}-3a^{2}c+3ac^{2}-c^{3}$.

On voit par cet exemple qu’on ne multiplie jamais qu’un monome par un monome ; ainsi la multiplication des polinomes est plus longue, mais elle n’est pas différente de celle des monomes : un plus grand nombre d’exemples seroit donc inutile, si ce n’est pour s’exercer ; mais l’on peut s’en donner à soi-même tant que l’on voudra. (E)

Nous ajouterons ici quelques réflexions sur la multiplication tant arithmétique que géométrique.

Dans la multiplication arithmétique, un des deux nombres est toûjours ou est censé être un nombre abstrait ; on en a vû ci-dessus un exemple dans le cas des 45 ouvriers, qui ont fait chacun 26 toises ; le produit est 26 toises multipliées non par 45 ouvriers, mais par le nombre abstrait 45. Ainsi la multiplication arithmétique est toûjours d’un nombre concret par un abstrait, ou d’un nombre abstrait par un abstrait. C’est donc une question illusoire, que de proposer, comme l’on fait quelquefois, aux commençans de multiplier des livres, sous, & deniers, par

des livres, sous & deniers. Voyez Concret & Division.

A l’égard de la multiplication géométrique, elle n’est qu’improprement appellée telle ; on ne multiplie point des lignes par des lignes, mais on multiplie le nombre des divisions supposées dans la ligne ab par celui des divisions d’une autre ligne ad faites avec la même commune mesure (Voyez Mesure) ; & le produit de ces nombres indique le nombre de petits quarrés que contient le rectangle abcd ; sur quoi voyez la fin de l’article Equation.

A l’égard du calcul qu’on a fait ci-dessus, & par lequel on trouve la ligne ac (fig. 10 Géomét.) = 6, comme étant le produit des deux lignes ab, ad, cela signifie seulement que cette ligne est égale au produit de ab par ad, divisé par la ligne au qu’on a prise pour l’unité ; ou qu’elle est telle que son produit par au est égal au produit de ab par a d, Voyez Parallélogramme.

Sur la multiplication des fractions. Voyez Fraction & Décimal.

Multiplication des plantes, (Jardinage.) est leur vraie production ; c’est le moyen que la nature leur a donné de se reproduire sans l’union des sexes, que quelques auteurs veulent admettre.

La graine est le moyen général qui perpetue les végétaux, eux-mêmes la produisent ; & si l’on considere qu’une seule gousse de pavot contient plus de mille graines, & qu’un pié ayant plusieurs tiges donne plusieurs gousses, on trouvera ce produit immense.

Les plantes ligneuses ont encore une voie plus courte pour se multiplier ; les unes par les boutures, jettons, rejettons, sions, qu’elles poussent à leurs piés, & qu’on leve tout enracinés ; les autres par des boutures, plançons, drageons, crossettes ou branches qu’on coupe sans racines, & qu’on aiguise par un bout pour les ficher en terre ; enfin les marcottes & les provins qui sont des branches que l’on couche en terre pour leur faire prendre racines, en reproduisent plusieurs autres.

Les oignons ou cayeux qui viennent au-tour des gros, & qu’on détache pour les replanter ailleurs, multiplient les plantes bulbeuses plus promptement que si on les semoit.

Les plantes fibreuses ou ligamenteuses, outre des graines très-abondantes, ont encore à leurs piés des talles qui les multiplient à l’infini.

Un moderne (Agricola, Agriculture parfaite, pag. 220.) nous a donné la multiplication universelle des végétaux, en joignant l’art à la nature ; il prétend que la partie inférieure de l’arbre a de même que la supérieure toutes les parties essentielles à la végétation : selon l’ordre de la nature, la tige a en soi un suc d’où peuvent provenir des racines ; & on voit aux branches & aux feuilles des petits filets qui approchent des racines, & qui reprennent en terre ; la branche a donc en soi des racines enfermées matériellement, donc la racine est dans la tige ; de même une racine a de petits nœuds caleux, des coupes ou gersures qui marquent les cercles des années d’où peuvent naître de petites tiges avec leurs branches : si les tiges n’étoient pas dans les racines, au moins matériellement, elles ne pourroient pas en pousser dehors.

Il conclut de-là 2°. qu’on peut greffer plusieurs rameaux sur une grosse racine séparée du corps de l’arbre, & replanter à fleur de terre sans séparer les greffes que lorsqu’elles sont bien reprises. 2°. Qu’on peut également faire les mêmes greffes sur une racine découverte qui tient à l’arbre, en la coupant ensuite par morceaux enracinés où tiendront les greffes. 3°. Qu’une grande branche coupée en plusieurs morceaux qui auront chacun un œil, étant mise en terre