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doit paſſer FIG le premier cercle cherché. Or ce cercle FG peut couper, ou toucher la Parabole en 1, ou 2, ou 3, ou 4 points, deſquels tirant des perpendiculai­res ſur l’eſſieu, on a toutes les racines de l’équation tant vraies, que fauſſes. À ſavoir ſi la quantité q eſt marqué du ſigne +, les vraies racines ſeront celles de ces perpendiculaires, qui ſe trouveront du meſme coſté de la parabole, que E le centre du cercle, comme FL ; & les autres, comme GK, ſeront fauſſes : Mais au contraire ſi cette quantité q eſt marquée du ſigne - les vraies ſeront celles de l’autre coſté ; & les fauſſes, ou moindres que rien ſeront du coſté où eſt E, le centre du cercle. Et enfin ſi ce cercle ne coupe, n’y ne touche la Parabole en aucun point, cela témoigne qu’il n’y a aucune racine ni vraie ni fauſſe en l’équation, & qu’elles ſont toutes imaginaires. En ſorte que cette règle eſt la plus générale, & la plus accomplie qu’il ſoyt poſſible de ſouhaiter.

Et la démonſtration en eſt fort aiſée. Car ſi la ligne GK, trouvée par cette conſtruction, ſe nomme z, AK ſera z² à cauſe de la Parabole, en laquelle GK doit eſtre moyenne proportionnelle, entre AK, & le coſté droit qui eſt 1 ; puis ſi de AK j’oſte AC, qui eſt ${\frac {1}{2}}$, C D qui eſt ${\frac {1}{2}}p$,

il reſte DK, ou EM, qui eſt $z^{2}-{\frac {1}{2}}p-{\frac {1}{2}}$,

dont le carré eſt

z⁴ – pz² – z² + ${\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}}$

et à cauſe que DE, ou KM eſt ${\frac {1}{2}}q$, la toute G M eſt $z+{\frac {1}{2}}q$,

dont le carré eſt $z^{2}+qz+{\frac {1}{4}}q^{2}$,

et aſſemblant ces deux carrez, on a

z⁴ – pz² + qz + ${\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}}$, pour le carré