propriété que leur équation puisse se mettre sous la forme de l’équation du lieu à 4 n droites.
4. Descartes explique très clairement sa solution pour le premier cas simple du lieu à cinq lignes qu’il a traité ; quant au second, ce qu’il dit est d’une obscurité probablement volontaire, et même inexact, si on le prend à la lettre. Car, supposant le lieu rapporté à un diamètre (soit l’axe des x) et à l’axe conjugué passant par le sommet (l’axe des y) , il dit que les ordonnées y sont égales à celles d’une section conique, dont les abscisses z formeraient, avec les abscisses correspondantes x du lieu, un produit constant, soit m2. C’est-à-dire que l’on aurait :
Mais il est clair qu’à moins de supposer nul le terme en z2, l’équation en x et y sera alors du quatrième degré et non du troisième, comme elle doit être pour un lieu à cinq lignes ; que, d’autre part, si la conique est simplement une parabole y2 = 2 pz, l’équation du lieu prendra la forme xy2 = k3 qu’on ne voit pas le moyen de mettre sous celle qui correspond au cas examiné par Descartes.
Il a dû supposer les quatre droites parallèles symétriques par rapport à l’axe des x, et prendre la droite les traversant comme axe des y ; les équations des cinq droites sont alors :
et celle du lieu :
En posant ma2 = b2c, c - m = n, x = c + x’ , on ramène cette équation à la forme y2 = (b2x’ )/(x’ + n).
En posant maintenant x’ + n = n2/z on a y2 = (b2/n) (n - z). On arrive bien ainsi à l’équation d’une parabole ; seulement l’abscisse du lieu n’est pas, comme le dit Descartes, comptée à partir du sommet, mais bien à partir de la rencontre de l’axe des x avec une perpendiculaire, asymptote de deux branches de la courbe.
5. En ce qui concerne l’analyse du lieu à quatre droites, que Descartes a présentée sous forme d’une discussion générale de l’équation du second degré à deux inconnues, on peut remarquer qu’il a omis de considérer le cas où le coefficient de y2 est nul. Il a lui-même reconnu cette omission et l’a signalée dans sa lettre à Debeaune du 20 fév. 1639 (t. II de cette édition, p. 511, 1. 3) ; il y fait déjà probablement allusion le 31 mars 1638 (t. II, p. 84, 1. 7), plutôt qu’au cas que nous avons supposé visé, dans la note sur ce passage.
