» synthèse d’aucune de ces lignes, ni montré qu’elle servît pour ces lieux,
» pas même pour celle qui semblerait la première et la plus indiquée.
» Voici comment on propose ces lieux. »
« Si d’un point on mène à cinq droites données de position d’autres
» droites sous des angles donnés, et qu’on donne le rapport entre le paral-
» lelépipède rectangle compris sous trois des menées et le parallélépipède
» rectangle compris sous les deux autres et sous une donnée, le point se
» trouvera sur une ligne donnée de position. »
« Si les droites données sont au nombre.de six, et que l’on donne le
» rapport du solide compris sous trois des menées au solide compris sous
» les trois autres, le point se trouvera de même sur une ligne donnée de
» position. »
« S’il y a plus de six droites, on ne peut plus dire que l’on donne le
» rapport entre quelque objet compris sous quatre droites et le même
» compris sous les autres, puis qu’il n’y a rien qui soit compris sous plus
» de trois dimensions. Cependant, peu de temps avant nous, on s’est
» accordé la liberté de parler ainsi, sans rien désigner pourtant qui soit
» aucunement intelligible, en disant le compris sous telles droites par
» rapport au carré de telle droite ou au compris sous telles autres. Il était
» cependant aisé, au moyen des rapports composés, d’énoncer et de
» prouver en général les propositions précitées et celles qui suivent.
» Voici comment : »
« Si d’un point on mène à des droites données de position d’autres
» droites sous des angles donnés et que l’on donne le rapport composé de
» celui de l’une des menées à une autre, de celui des menées d’un second
» couple, de celui des menées d’un troisième, enfin de celui de la der-
» nière à une donnée, s’il y a sept droites en tout, ou bien de celui des
» deux dernières, s’il y en a huit, le point se trouvera sur une ligne
» donnée de position. »
» On pourra dire de même, quel que soit le nombre des droites, pair
» ou impair. Mais, comme je l’ai dit, pour aucun de ces lieux qui suivent
» celui à 4 droites, il n’y a eu une synthèse faite qui permette de con-
» naître la ligne. »
Nous avons déjà, dans le tome IV de la Correspondance (éclaircissement, p. 364-366), discuté le passage particulièrement obscur du texte de Pappus (ci-avant, p. 378, 1. 6-10), et nous en avons donné une traduction un peu différente de celle qui précède, pour laquelle nous avons suivi la leçon des manuscrits.
Nous ajouterons ici quelques autres remarques, d’abord sur le passage de Pappus, puis sur la solution de Descartes.
I. La façon dont les anciens traitaient le lieu à trois et quatre droites a
