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La Géométrie. — Livre III.

Et pourcequ’on ne trouve aucune racine, ni vraie, ni fausse, en ces deux dernières Équations, on connaît delà que les quatre de l’Équation dont elles procèdent sont imaginaires ; et que le Problème, pour lequel on l’a trouvée, est plan de sa nature ; mais qu’il ne saurait en aucune façon être construit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre.

Tout de même ayant

$z^{4}+\left({\frac {1}{2}}a^{2}-c^{2}\right)z^{2}-\left(a^{2}+ac^{2}\right)z-{\frac {5}{16}}a^{4}-{\frac {1}{4}}a^{2}c^{2}=0$,

pourcequ’on trouve a² + c² pour y², il faut écrire

$z^{2}-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}z+{\frac {3}{4}}a^{2}-{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}=0$,

et $z^{2}+{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}z+{\frac {3}{4}}a^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}=0$.

Car y est ${\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$ et ${\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}p$ est ${\frac {3}{4}}a^{2}$, et ${\frac {q}{2y}}$ est ${\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$.

D’où on connaît que la valeur de z est

${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}+{\sqrt {-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}$,

ou bien

${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}-{\sqrt {-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}$.

Et pourceque nous avons fait ci-dessus $z+{\frac {1}{2}}a=x$, nous apprenons que la quantité x, pour la connaissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est

${\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}c^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}$.

Exemple de l’usage de ces réductions

Mais afin qu’on puisse mieux connaître l’utilité de