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La Géométrie - Livre II.

proportion qui est entre elles ; si FP multipliée par CM ; et divisée par CF, est à GP multipliée aussi par CM et divisée par CG ; comme d est à e, en divisant l’une et l’autre de ces deux sommes par CM, puis les multipliant toutes deux par CF, et derechef par CG, il reste FP multipliée par CG, qui doit être à GP multipliée par CF, comme d est à e.

Or par la construction FP est

$c+{\frac {bcd^{2}-bcde+bd^{2}z+ce^{2}z}{bde+cd^{2}+d^{2}z-e^{2}z}}$

Ou blen

FP = ${\frac {bcd^{2}+c^{2}d^{2}+bd^{2}z+cd^{2}z}{bde+cd^{2}+d^{2}z-e^{2}z}}$

et CG est $b-{\frac {c}{d}}z$

si bien que multipliant FP par CG il vient

${\frac {b^{2}cd^{2}+bc^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}z+bcd^{2}z-bcdez-cd^{2}ez-bdez^{2}-cdez^{2}}{bde+cd^{2}+d^{2}z-e^{2}z}}$

Puis GP est $b-{\frac {bcd^{2}-bcde+bd^{2}z+ce^{2}z}{bde+cd^{2}+d^{2}z-e^{2}z}}$

ou bien

GP = ${\frac {b^{2}de+bcde-be^{2}z-ce^{2}z}{bde+cd^{2}+d^{2}z-e^{2}z}}$

et CF est c + z

Si bien que multipliant GP par CF, il vient

${\frac {b^{2}cde+bc^{2}de-bceez-cceez+b^{2}dez+bcdez-be^{2}z^{2}-ce^{2}z^{2}}{bde+cd^{2}+d^{2}z-e^{2}z}}$

Et pourceque la première de ces sommes divisée par d, est la même que la seconde divisée par e, il est manifeste, que FP multipliée par CG est à GP multipliée par CF ; c’est-à-dire que PQ est à PN, comme d est à e, qui est tout ce qu’il fallait démontrer.

Et sachez que cette même démonstration s’étend à tout ce qui a été dit des autres réfractions ou réflexions, qui se font dans les ovales proposées sans