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La Géométrie. — Livre II.

traversant, on a par le treizième théorème du premier livre d’Apollonius,

$x^{2}=ry-{\frac {r}{q}}y^{2}$,

D’où ôtant x², il reste

$s^{2}-v^{2}+2vy-y^{2}=ry-{\frac {r}{q}}y^{2}$,

ou bien

$y^{2}+{\frac {qry-2qvy+qv^{2}-qs^{2}}{q-r}}=0$,

car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme, que d’en faire une partie égale à l’autre.

Tout de même si CE est la ligne courbe décrite par le mouvement d’une Parabole en la façon ci-dessus expliquée, et qu’on ait posé b pour GA, c pour KL et d pour le côté droit du diamètre KL en la parabole, l’équation qui explique le rapport qui est entre x et y est

y³ - by² - cdy + bcd +dxy = 0,

d’où ôtant x, on a $y^{3}-by^{2}-cdy+bcd+dy{\sqrt {s^{2}-v^{2}+2vy-y^{2}}}$ ;

et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient

$y^{6}-2by^{5}+\left.{\begin{array}{r}-2cd\\+b^{2}\\+d^{2}\end{array}}\right\}y^{4}+\left.{\begin{array}{r}+4bcd\\-2d^{2}v\end{array}}\right\}y^{3}+\left.{\begin{array}{r}-2b^{2}cd\\+c^{2}d^{2}\\-d^{2}s^{2}\\+d^{2}v^{2}\end{array}}\right\}y^{2}$

$\displaystyle {-2bc^{2}d^{2}y+b^{2}c^{2}d^{2}=0}$ ^[1],

et ainsi des autres.

1. y⁶-2by⁵+(b²-2cd+d²)y⁴+(4bcd-2d²v)y³+(c²d²-d²s²+d²v²-2b²cd)y²-2bc²d²y+b²c²d²=0