en Hollande et à laquelle Descartes consacre un assez long passage de cette même lettre du 1 5 novembre (t. II, p. 438, 1. 9, à p. 439, 1. 6).
Toujours dans la même lettre, l’alinéa, p. 443, 1. 4-6, concerne un Traité dont Debeaune venait de communiquer l’ébauche à Mersenne et à Roberval, et dont il est fait mention dans les lettres A et B, mais qui n’a jamais été terminé.
Quant au passage, p. 444, 1. 22 et suiv., il se réfère au jugement de Roberval et probablement aussi de Beaugrand, relatif à la réponse de Descartes, du 11 octobre, sur la première ligne de Debeaune, et commu- niqué par Mersenne dans une lettre du i" novembre. Nous verrons que Debeaune ne s’expliqua à ce sujet que le i3 novembre, en reconnaissant, d’ailleurs, la vérité de l’assertion de Descartes.
Dans toute cette correspondance, le nombre des lignes proposées par Debeaune reste indéterminé (il n’est en particulier parlé que de deux de ces lignes), et la condition énoncée pour la première fait toujours défaut. Mais nous l’avons rencontrée dans un Traité anonyme écrit vers 1700 et qui se trouve à la Bibliothèque Nationale (MS. fr. 12262) ; l’auteur de ce Traité définit ainsi » une des deux lignes courbes qui furent proposées à » M. Descartes par M. de Beaune ». « Ce premier exemple est tel. Soit certaine ligne courbe ACc, dont
» AM soit l’abscisse et MC soit » l’ordonnée que l’on suppose luy » estre perpendiculaire pour plus » grande facilité. Que la tangente » au point C soit CT. La nature » de cette ligne est telle que la » quantité donnée B jointe a l’abs- « cisse A M soit a A M comme la » même AM est a l’ordonnée M C. » Appelant la quantité 6(4»), A M (jf), M Cf_K), le lieu a cette courbe sera » XX — xy — by = o. 0’
Or, c’est là précisément l’e'xemple que prend Debeaune, dans ses Notœ brèves [Geom. R. Desc, éd. Schooten : 1°, 1649, p. 146 ; 2°, lôSg, p. i3i), pour expliquer la méthode des tangentes de Descartes. Il faut donc admettre qu’avant sept. 1638, il ne s’était pas encore bien rendu maître de cette méthode, et que, pour sa première ligne, il avait proposé le problème direct des tangentes.
La publication des lettres de Debeaune est faite sur deux copies, l’une exécutée à la Hofbibliothek par M. Mencik en 1900, à la suite d’une mission de M. Paul Tannery à Vienne, l’autre qui a été faite par Despeyrous en 1845 et qui se trouve dans le MS. fr. n. a. 3252 de la Bibliothèque Nationale. L’écriture de Debeaune est réellement difficile à lire, mais la comparaison des deux copies a permis d’établir le texte avec une sûreté relativement très satisfaisante. Les expressions algébriques présentent une particularité qui a été conservée dans cette édition : les exposants suivent sur la même ligne les lettres qu’ils affectent.
