CLIV. — 9 Janvier 16^9. 479
avec a' = p* -j- y', et l'on conclura qu'à un facteur près qui n'introduise aucune décomposition en somme de deux carrés inégaux, a peut être pris égal à un carré, et que l'on pourra construire, sous les conditions exprimées, autant d'ellipses différentes qu'il y a de façons différentes de décomposer ce carré en somme de deux autres, premiers ou non entre eux.
D'après la lettre CLX et les indications de Fermât, Frenicle devait avoir, au reste, posé une condition, peut-être mal exprimée ou négligée dans sa lettre à Descartes, mais excluant, en effet, le cas d'imparité pour le grand axe de l'ellipse. Dans la présente lettre, Descartes admet aussi la parité; dans les suivantes, il envisage l'hypothèse contraire.
En ce qui concerne la condition è<;c posée par Frenicle (voir plus haut), elle n'a pour objet que de compter seulement une ellipse pour chaque décomposition différente en somme de deux carrés, en prenant pour c le plus grand de ces carrés. Autrement, comme è' et c* sont en même temps divisibles par a, on pourrait substituer t à c, et inversement.
On doit croire enfin que Frenicle avait proposé de construire le plus petit nombre a possible pour les conditions qu'il posait. Mais, cette fois au moins, Descartes ne se préoccupe pas de ce desideratum; il forme a en multipliant par 2 (ce qui est inutile) le carré du produit d'autant de fac- teurs de la forme (n -f" 1 )' + "*) qu'il y a d'ellipses à construire sur le même grand axe. Dès lors chaque facteur correspond à une ellipse pour laquelle a, b, c sont respectivement proportionnels à2n*-{-2n-}-it 2« -f- I et2n (n-|- i).
Il n'a pas remarqué que la multiplication de ces facteurs introduisait la possibilité d'autres décompositions. Il s'ensuit que le nombre, 4. 5*. i3', qu'il donne pour le grand axe de trois ellipses « et non plus », peut servir à former jusqu'à sept ellipses avec les conditions qu'il considère.
Pour trois ellipses seulement, le plus petit nombre a serait 5'.
��CLIV.
Descartes a Mersenne.
g janvier lôSg.
AtJTOORAPHE, Bibliothèque V. Cousin, n» n.
La 21' lettre de la collection La Hire et le numéro i5 du classe- ment Poirier. Variantes du texte imprimé sur la minute par Clerse- lier, tome II, lettre XCVI, p. 435-444.
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