En considérant la parabole comme une ellipse d’une excentricité infinie, le raisonnement ci-dessus s’y applique mot à mot. Ainsi, toute section conique peut être considérée comme si elle appartenait à l’hyperboloïde.
Le théorème précédent (10) est susceptible d’une extension intéressante que voici.
Un plan quelconque et une hyperboloïde de révolution étant donnés, en faisant prendre à une sphère tangente à l’hyperboloïde toutes les positions possibles, elle finira par couper quelque part le plan ; alors il sera possible de mener par la section sur l’hyperboloïde deux cônes droits tangens à la sphère. Ensuite, si par l’une des extrémités du diamètre perpendiculaire à , on mène deux droites aux sommets des deux cônes, elles couperont le plan , suivant les deux foyers de la section.
Ce théorème se déduit si simplement de ce que nous avons vu, que je n’ai pas cru nécessaire de le démontrer. On peut en tirer quelques corollaires curieux, mais ils se présenteront d’eux-mêmes à ceux qui sont curieux de ces sortes de choses.
13. Imaginons sur l’hyperboloïde les traces de six génératrices, trois directes et trois inverses. Chaque génératrice sera coupée en trois points par les trois génératrices du système opposé, ce qui donnera en tout dix-huit points d’intersection, qui se réduisent à neuf points différens : parmi ces points, prenons en six arbitrairement, mais tels pourtant qu’il n’y en ait jamais plus de deux sur la même droite ; nous formerons un hexagone gauche dont les côtés seront alternativement formés de segmens de génératrices directes et inverses. Désignons ces côtés par les lettres
