Soient maintenant , les traces de la sphère dans ces deux positions, et désignons par un point quelconque de la section conique dont la projection sur le plan soit l’arête du cône, qui passe par , touchera les sphères en deux points et , dont les projections et se trouveront sur les traces et des plans des deux cercles de contact des sphères et du cône.
Or à présent si l’on suppose deux rayons et , menés des points et au point de la section conique, on voit que le premier est égal à , puisque ce sont deux tangentes menées du point à la sphère, et que par une semblable raison . Donc ; mais cette dernière quantité est constante, puisqu’elle dépend seulement de l’angle au centre du cône et de la position des deux sphères, et que ces trois élémens sont indépendans de la position du point sur le contour de la section ; donc on peut en conclure que la somme des rayons vecteurs, menés des points et à un point quelconque de cette section, est constante.
Cette propriété, qui appartient exclusivement aux sections coniques, démontre que les points et sont les foyers de la courbe que nous considérons et qui est ici une ellipse.
2. En appliquant à l’hyperbole et à la parabole un raisonnement exactement semblable, on conclura généralement l’énoncé du théorème suivant :
Si l’on fait mouvoir dans un cône droit une sphère et que dans une position quelconque de cette dernière, supposée
