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par $X$ l'abscisse du point $N$; et soient maintenant $x$ et $y$ les coordonnées du corrélatif du point d'inflexion cherché, $a$ et $b$ celles du centre d'osculation au point $(x,y)$, $\rho$ la valeur du rayon osculateur, on aura

$x-a={\frac {dy}{dx}}.{\frac {dy^{2}+dx^{2}}{d^{2}y}}=x.{\frac {x^{2}+Y^{2}}{Y^{2}}}$
$y-b=-{\frac {dy^{2}+dx^{2}}{d^{2}y}}=-{\frac {x^{2}+Y^{2}.}{Y^{2}.}}$

et

$\rho ^{2}=\dots {\frac {(x^{2}+Y^{2}.)^{3}.}{Y^{2}.}}$.

L'équation de la parabole étant $x^{2}+Y^{2}=2Yy$, dans notre système de coordonnées.

Cela étant, il est facile de voir que si l'on divise en quatre parties égales le rayon du cercle osculateur, le premier point de division à partir de la courbe aura pour coordonnées,

$a'=x+{\frac {a-x}{4}}$, $b'=y+{\frac {b-y}{4}}$

mais, d'après ce que nous avons vu, le cercle qui passe par $x,y$ et qui a son centre en doit passer par $(X,0)$, nous devons donc avoir,

$(x-a')^{2}+(y-b')^{2}=(X-a')^{2}+b'^{2}$;

ou en substituant pour $a'$ et $b'$ leurs valeurs,

$\left({\frac {x-a}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {y-b}{4}}\right)^{2}=\left(X-x-{\frac {x-a}{4}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {b-y}{4}}\right)^{2}$,