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$\scriptstyle a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f$,

ces six centres seront les sommets d’un hexagone circonscrit à la parabole, et d’après un théorème connu des sections coniques, les trois diagonales $ad,be,cf$, se couperont en un seul point que j’appelle ${\text{M}}'$ ; cela posé :

Les deux cordes corrélatives ${\text{AB}}$ et ${\text{DE}}$ ont leurs centres $a$ et $d$ sur la diagonale $ad$. Elles se coupent d’abord en ${\text{N}}$ d’après leur définition (18), elles ont encore un autre point commun, lequel doit être tellement placé, que sa distance à un point quelconque pris sur $ad$, doit être égale à la distance de ce point au point ${\text{N}}$. Or, le point ${\text{M}}'$ se trouve sur la droite $ad$, donc en désignant par $N'$ l’intersection des cordes corrélatives $AB$ et ${\text{DE}}$, on aura ${\text{M}}'{\text{N}}'={\text{M}}'{\text{N}}$. si $N''$ est aussi l’intersection des cordes ${\text{BC}}$ et ${\text{EF}}$, et que $N'''$ soit celle des cordes ${\text{CD}}$ et ${\text{FA}}$, on aura aussi

${\text{M}}'{\text{N}}''={\text{M}}'{\text{N}}$, et ${\text{M}}'{\text{N}}'''={\text{M}}'{\text{N}}$ ;

d’où il suit que si on décrit du point ${\text{M}}'$ comme centre, un cercle dont le rayon soit ${\text{M}}'{\text{N}}$, il passera par les trois points ${\text{N}}',{\text{N}}''$ et ${\text{N}}'''$, ou en d’autres termes :

19. Si l’on inscrit dans la focale un hexagone composé de cordes corrélatives, et que l’on suppose ces cordes prolongées suffisamment pour que celles qui forment les côtés opposés de l’hexagone se coupent deux à deux, on aura trois points d’intersection, lesquels avec le nœud de la focale se trouveront sur la même circonférence.

20. Ce théorème est curieux par la singulière ressemblance