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CORRESPONDANCE.

M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la Correspondance :

1^o Institut international de Physique Solvay. Le Magnétisme. Rapports et Discussions du sixième Conseil de Physique, tenu à Bruxelles du 20 au 25 octobre 1930.

2^o Maurice Lecat. L’Azéotropisme. La tension de vapeur des mélanges de liquides. Bibliographie.

ALGÈBRE. — Un théorème d’arithmétique sur les courbes algébriques. Note de MM. Claude Chevalley et André Weil, présentée par M. Hadamard.

Généralisant des résultats dus à l’un de nous^[1], nous allons esquisser la démonstration du théorème suivant :

Soit C la courbe F(ξ, η) = 0, dont les coefficients se trouvent dans un corps algébrique fini k, le corps de base. Soit Z une fonction algébrique multiforme des points de C, non ramifiée sur C, racine d’une équation

$\mathrm {Z} ^{n}+f_{1}(\xi ,\eta )\mathrm {Z} ^{n-1}+\cdots +f_{n}(\xi ,\eta )=0$,

où les coefficients des $f_{i}$ sont supposés être également dans k. Alors, pour tout point algébrique (ξ, η) sur C, le discriminant relatif du corps k (ξ, η, Z) par rapport à k (ξ, η) divise un entier rationnel fixe.

Soient L le corps des fonctions rationnelles $\varphi (\xi ,\eta )$ à coefficients dans k, considérées comme fonctions de points sur C, et R = L (Z). Soient P, P′ deux points auxiliaires fixes de C dont nous supposerons les coordonnées algébriques et préalablement adjointes à k. Soient respectivement o_P, O_P les anneaux des fonctions de L et de R finies partout, sauf en P. O_P, qui est l’ensemble des éléments de R entiers par rapport à o_P, est un o_p-module fini. Soit en effet ζ une fonction de o_P ; les éléments de P sont entiers par rapport à k[ζ], anneau des polynômes en ζ à coefficients dans k ; donc,

1. A. Weil. Thèse. Paris, 1928, et Acta math., 52, 1928, p. 281.