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» Supposons d’abord que l’on intègre dans le plan de la variable $z$ le long d’une courbe partant de l’infini et y revenant, et pareillement dans le plan de la variable $z'$. On ajoute seulement la condition que $e^{zx}$ et $e^{z'y}$ s’annulent à l’infini pour les chemins suivis. On obtiendra de cette manière, quelle que soit la fonction $\textstyle {Q}(z+z')$, pourvu seulement que l’intégrale ait un sens, une intégrale de l’équation avec une fonction arbitraire. En particulier, en prenant pour $Q$ une constante, on obtient ainsi la solution importante $\textstyle x^{-\beta }y^{-\beta '}$.

» On peut obtenir aisément une autre solution. À la place de $z'$, introduisons la variable $u=z+z'$ ; nous aurons l’intégrale

$\iint e^{z(x-y)}e^{uy}z^{\beta -1}(u-z)^{\beta '-1}Q(u)\mathrm {d} z\mathrm {d} u.$

» Prenons comme ligne d’intégration dans le plan de la variable $u$ une courbe quelconque $C$ partant de l’infini et y revenant, puis dans le plan de la variable $z'$ une courbe analogue $C'$, ne rencontrant pas la première quand on trace les deux courbes sur un même plan ; enfin, $e^{z(x-y)}$ et $e^{uy}$ sont supposés s’annuler quand $z$ et $u$ s’éloignent à l’infini. On obtient ainsi une autre solution de l’équation d’Euler, renfermant une fonction arbitraire. En particulier, si l’on pose $\textstyle Q(u)={\frac {1}{u}}$ et que l’on prenne pour la courbe $C$ une courbe fermée enveloppant l’origine, l’intégrale précédente se réduit à $(x-y)^{1-\beta -\beta '}$.

» 2. Considérons un second type ; c’est celui où dans l’équation (E) les coefficients A, B, C se réduisent à des constantes, les autres coefficients étant des fonctions linéaires quelconques de $x$ et $y$. En remplaçant $x$ et $y$ par des fonctions linéaires convenables de nouvelles variables, on peut supposer que D ne dépend que de $x$, et que E ne dépend que de $y$ ; on peut encore, sans diminuer la généralité, supposer que F se réduit à une constante.

» Dans ces conditions, l’intégrale générale de l’équation en $f$ sera de la forme

$f(z,z')=z^{p}e^{az^{2}+\beta zz'+\gamma z'^{2}+\delta z+\epsilon z'}Q\left({\frac {z'}{z^{m}}}\right),$

$p$, $m$, ainsi que les coefficients $\alpha ,\cdots ,\epsilon$, étant des constantes déterminées.

» Pour définir l’intégrale double, on peut prendre tout d’abord dans les plans des variables $z$ et $z'$ deux courbes, partant de l’infini et y revenant, sous la condition facile à réaliser que l’exponentielle $\textstyle e^{\alpha z^{2}+\beta zz'+\gamma z'^{2}}$ s’annule