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À cet effet, considérons la transformation de sphères précédemment définie. Je vais montrer que, lorsque la sphère $\left({\rm {S}}\right)$ dont elle dépend est une véritable sphère et ne se réduit pas à un plan, il existe toujours un rayon $\rho$ tel, que toutes les sphères de rayon $\rho$ ont pour transformées, quelle que soit leur position par rapport à $\left({\rm {S}}\right)$, des sphères de rayon égal à $-\rho$.

Désignons par ${\rm {R}}$ le rayon de $\left({\rm {S}}\right)$. Soient $\left({\rm {U}}\right)$, $\left({\rm {U'}}\right)$ deux sphères de rayons $\rho$, $-\rho$, coupant $\left({\rm {S}}\right)$ suivant le même cercle. Si l’on appelle $\varphi$, $\varphi '$ les angles sous lesquels ces sphères coupent $\left({\rm {S}}\right)$, on établira sans peine la relation

${\frac {\sin ^{2}\varphi }{\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}-2\mathrm {R} \rho \cos \varphi }}={\frac {\sin ^{2}\varphi '}{\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}+2\mathrm {R} \rho \cos \varphi '}}$,

d’où l’on déduit

${\frac {\cos \varphi -\cos \varphi '}{1-\cos \varphi \cos \varphi '}}={\frac {2\mathrm {R} \rho }{\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}}}$.

Cette relation est de même forme que la formule (1). Il suffira donc de déterminer $\rho$ par l’équation

${\frac {2\mathrm {R} \rho }{\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}}}=h$.

Alors les sphères $\left({\rm {U}}\right)$, $\left({\rm {U'}}\right)$ seront correspondantes dans la transformation définie par notre deuxième proposition. J’ajoute que leurs centres, situé en ligne droite avec le centre de $\left({\rm {S}}\right)$, seront inverses par rapport à la sphère $\left({\rm {S'}}\right)$, concentrique à $\left({\rm {S}}\right)$ et de rayon ${\sqrt {\mathrm {R} ^{2}-\rho ^{2}}}$.

D’après cela, soient $\left(\Sigma \right)$ une surface quelconque et $\left(\Sigma '\right)$ sa transformée. Si l’on prend toutes les sphères $\left({\rm {U}}\right)$ de rayon $\rho$ tangentes à $\left(\Sigma \right)$, elles auront pour transformées des sphères $\left({\rm {U'}}\right)$ de rayon $-\rho$, tangentes à $\left(\Sigma '\right)$. Les surfaces $\left(\Theta \right)$, $\left(\Theta '\right)$, lieux des centres des sphères $\left({\rm {U}}\right)$, $\left({\rm {U'}}\right)$, seront évidemment parallèles respectivement à $\left(\Sigma \right)$ et à $\left(\Sigma '\right)$, et, d’après ce qui vient d’être démontré, elles seront inverses l’une de l’autre par rapport à la sphère $\left({\rm {S'}}\right)$. On voit donc que l’on peut passer de $\left(\Sigma \right)$ à $\left(\Sigma '\right)$ : 1^o par une dilatation qui transforme $\left(\Sigma \right)$ en $\left(\Theta \right)$ ; 2^o par une inversion par rapport à la sphère auxiliaire ($\left({\rm {S'}}\right)$, inversion qui transforme $\left(\Theta \right)$ en $\left(\Theta '\right)$ ; 3^o enfin par une nouvelle dilatation qui transforme $\left(\Theta '\right)$ en $\left(\Sigma '\right)$.

Dans le cas spécial où la sphère $\left({\rm {S}}\right)$ se réduirait à un plan, il faudrait commencer par effectuer une inversion quelconque sur l’ensemble de la figure.

Je terminerai en remarquant que la recherche des modes de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure est liée de la manière la plus étroite avec celle des systèmes orthogonaux. Toutes les fois