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et de $\left({\rm {U}}\right)$, et coupant $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle $\varphi _{1}$ déterminé par l’équation

(1)

${\frac {\cos \varphi -\cos \varphi _{1}}{1-\cos \varphi \cos \varphi _{1}}}=h$[1].

Alors les nouvelles sphères $\left({\rm {U_{1}}}\right)$ enveloppent une surface $\left(\Sigma _{1}\right)$ qui correspond point par point à $\left(\Sigma \right)$ avec conservation des lignes de courbure. Si l’on assujettit les sphères $\left({\rm {U}}\right)$ tangentes à $\left(\Sigma \right)$ à couper $\left({\rm {S}}\right)$ sous un angle constant, $\varphi$ sera constant ; il en sera de même de $\varphi _{1}$, en vertu de l’équation précédente, et l’on retrouve le théorème donné plus haut. »

» Ce qui caractérise cette nouvelle proposition, c’est qu’elle n’impose aucune autre condition aux sphères $\left({\rm {U}}\right)$ que celle d’être tangentes à la surface $\left(\Sigma \right)$. La surface transformée ne dépend que de $\left(\Sigma \right)$, de $\left({\rm {S}}\right)$ et de la constante $h.$ On rencontre un fait analogue dans la théorie des surfaces parallèles, et, si l’on considère toutes les sphères tangentes à une surface $\left(\Sigma \right)$, on en déduit, en conservant leurs centres et en augmentant leurs rayons d’une même quantité, toutes les sphères tangentes à une des surfaces parallèles à $\left(\Sigma \right)$. La transformation de sphères définie dans notre deuxième proposition est moins simple que la précédente ; mais elle offre l’avantage d’être plus générale, puisqu’elle dépend de la constante $h$ et des quatre paramètres qui déterminent la position de $\left({\rm {S}}\right)$.

» Supposons, en particulier, que la sphère $\left({\rm {S}}\right)$ se réduise à un plan $\left(\pi \right)$. Alors à tout plan $\left({\rm {P}}\right)$ correspondra un plan $\left({\rm {P'}}\right)$ passant par l’intersection de $\left(\pi \right)$ et de $\left({\rm {P}}\right)$, et les angles $\varphi ,\varphi '$ que font les plans $\left({\rm {P}}\right)$, $\left({\rm {P'}}\right)$ avec $\left(\pi \right)$ seront liés par la relation (1). Il n’est pas difficile de reconnaître, dans cette transformation d’un plan dans un autre, celle qui a été étudiée récemment par M. Laguerre sous le nom de transformation par directions réciproques. On voit qu’elle est comprise dans la transformation de sphères qui est définie par notre deuxième proposition.

» Je n’ai rappelé ces résultats que pour arriver à la proposition qui est l’objet principal de cette Communication. Je vais montrer, conformément à un théorème général de M. S. Lie^[2], que la transformation proposée en premier lieu par M. Ribaucour se ramène à des dilatations (passage d’une surface à la surface parallèle) et à des transformations par rayons vecteurs réciproques.

1. Ou mieux $\mathrm {tang} {\frac {\varphi }{2}}=\mathrm {tang} {\frac {\varphi _{1}}{2}}{\sqrt {\frac {1-h}{1+h}}}$.
2. S. Lie, Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe (Mathematische Annalen, t. V, p. 186).