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durant un instant $\theta ,$ est égal à celui, $w\theta h,$ qui se trouve de plus au delà de cette section au bout du même instant. À une première approximation, $u$ ne dépend pas de $y,$ et il vient successivement

(3)

$\left\{{\begin{aligned}u={\frac {wh}{\mathrm {H} }},\quad {\frac {du}{dx}}={\frac {w}{\mathrm {G} }}{\frac {dh}{dx}},\\v=-\int _{0}^{y}{\frac {du}{dx}}dy=-{\frac {w}{\mathrm {H} }}{\frac {dh}{dx}}y,\quad {\frac {du}{dy}}={\frac {dw}{dx}}=-{\frac {w}{\mathrm {H} }}{\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}y.\end{aligned}}\right.$

» Multiplions la dernière (3) par $dy$ et intégrons en déterminant la constante au moyen de la condition précédente d’incompressibilité, nous aurons

(4)

$u={\frac {wh}{\mathrm {H} +h}}+{\frac {w}{6\mathrm {H} }}{\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}\left(\mathrm {H} ^{2}-3y^{2}\right),$ d’où $u_{1}={\frac {wh}{\mathrm {H} }}\left[1-{\frac {h}{\mathrm {H} }}-{\frac {\mathrm {H} ^{2}}{3h}}{\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}\right].$

Portant dans la relation (1), spécifiée pour la surface libre, les valeurs de $v_{1}$ et de $u_{1}$ données par (3) et (4), il vient

(5)

$w^{2}=g\mathrm {H} \left[1+{\frac {3}{2}}{\frac {h}{\mathrm {H} }}+{\frac {\mathrm {H} }{2h}}{\frac {dh^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {\mathrm {H} ^{2}}{3h}}{\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}\right].$

» L’intégrale première de cette équation, si l’on appelle $\mathrm {C}$ une constante, est

(6)

${\frac {dh^{2}}{dx^{2}}}=-3\left({\frac {h}{\mathrm {H} }}\right)^{2}-{\frac {2w^{2}}{g\mathrm {H} }}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {h}{\mathrm {H} }}\right)+\mathrm {C} e^{-3{\frac {h}{\mathrm {H} }}},$

ou sensiblement, en déterminant $\mathrm {C}$ de manière que la dérivée de $h$ en $x$ s’annule pour $h=0,$ développant l’exponentielle jusqu’au terme en $h^{3},$ et observant qu’on peut, d’après (5), remplacer, dans ce terme, $w^{2}$ par $g\mathrm {H} ,$

(7)

${\frac {dh^{2}}{dx^{2}}}=3\left({\frac {w^{2}}{g}}-\mathrm {H} -h\right){\frac {h^{2}}{\mathrm {H} ^{3}}}.$

Au sommet de l’onde, où $h=h_{1}$ et où la dérivée de $h$ en $x$ est nulle, cette formule (7) devient $w^{2}=g(\mathrm {H} +h_{1}),$ qui a été trouvée expérimentalement par J. Russell et vérifiée par M. Bazin. Si l’onde était négative ou que $h_{1}$ (alors valeur minimum de $h$) fût $<0,$ la même dérivée, nulle pour $h=h_{1},$ serait imaginaire, d’après (6), pour $h>h_{1}\ :$ on ne peut donc pas appliquer aux ondes négatives la théorie actuelle, ni, par suite, l’hypothèse consistant à admettre que $u,$ $v$ dépendent seulement de $x-wt,$ $y,$ ou que, même à une seconde approximation, l’onde se propage uniformément et sans se déformer. En effet, J. Russell et M. Bazin ont reconnu que ces ondes s’altèrent promptement et qu’elles sont d’ailleurs suivies de plusieurs autres, alternativement positives et négatives : on doit se contenter jusqu’à présent, à