Page:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 068, 1869.djvu/366

les courbures des surfaces », et donne lecture du passage suivant de la Lettre d’envoi :

« On a proposé de mesurer la courbure d’une surface en un point donné ? soit par le produit $\textstyle {\frac {1}{AB}}$, soit par la moyenne $\textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)$ des courbures extrêmes. Mais, dans le premier cas, on serait conduit à attribuer une courbure nulle à toute surface développable ; dans le second cas, la courbure serait nulle pour toute surface convexo-concave dont les lignes de courbure auraient même rayon. Telle n’est pas évidemment l’idée qu’on doit se faire de la courbure d’une surface.

» Si l’on conçoit, autour d’un point M, toutes les sections normales que l’on peut tracer sur une surface, et qu’on leur attribue une longueur $l$ variable avec l’orientation $\mu$ de la section, l’ensemble de ces longueurs ou étendues linéaires déterminera autour du point M une étendue superficielle mesurée par l’intégrale $\textstyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }l^{2}d\mu$. D’après cela, si l’on veut s’élever de la notion de la courbure linéaire à celle de la courbure superficielle, de la même manière que l’on s’élève de la notion de l’étendue linéaire à celle de l’étendue superficielle, il est clair que l’on devra mesurer ou définir la courbure de la surface en M au moyen de l’intégrale $\textstyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\mu }{\gamma ^{2}}}$ dans laquelle ${\frac {1}{\gamma }}$ est la courbure linéaire de la section principale dont l’orientation est $\mu$. Un théorème bien connu, dû à Euler, donne tout de suite

${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\mu }{\gamma ^{2}}}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {cos^{2}\mu }{A}}+{\frac {sin^{2}\mu }{B}}\right)^{2}d\mu ={\frac {3\pi }{8}}\left({\frac {1}{A^{2}}}+{\frac {2}{3AB}}+{\frac {1}{B^{2}}}\right).$

» La courbure superficielle, ainsi définie, joue un rôle essentiel dans quelques questions de géométrie pure ou de physique mathématique que j’ai indiquées. Je me borne à énoncer ici ce théorème, qui découle immédiatement de l’équation précédente et me paraît justifier, en quelque sorte, la définition proposée : La courbure d’une surface ne peut être nulle que si les deux rayons de courbure principaux, et par suite tous les rayons de courbure, sont infinis, auquel cas la surface se réduit à un plan. »