(3i3) En effet, on reconnaît facilement que
A’+ B’"- 1) = r"- 1 (B + A"), A"+B("- 2 » = r"- 2 (B+A, v),
I n — 1 / n-n n-H
AV 3 / + B^ 2 ’ = r a [B + A< n -'>], ’
A V 2 / + B^ 2 / = /• 2 (B + A),
A<"-2)4-B" = r 2 [B-4-A< n - 4 >], A (»-o +, B’ = r[B + A< n - 2 ’] ;
d’où il résulte que le second membre de l’équation (5) est égal à
(A n -t-B n)r’= A n + B",
car l’exposant p, égal à la somme i + 2 + 3 +.., + (n-i), ou à " • ""*’ ;
est un multiple de n.
Ainsi, la somme des «’^"puissances de deux nombres complexés de la forme (i) est décomposable en n facteurs complexes de la même forme. Ces n facteurs ont entre eux des relations nécessaires. Si Ton adopte pour ce produit la forme du second membre de l’équation (5), dont la loi est facile à saisir, et que l’on désigne généralement ces facteurs par M (t), l’indice i étant le même que celui de A, on démontre facilement que la somme de deux quelconques de ces facteurs est égale à un troisième de ces mêmes facteurs, multiplié par l’une des valeurs de z, — (3) ; car on trouve
(6) M« + M"’» = y, .M^ 2 ’,
en ayant soin d’augmenter de n l’un des indices, quand ils sont de parités contraires, ce qui ne change pas le nombre dont l’indice est augmenté.
Les n nombres complexes M, M’, M", ..., M (n 1) vérifient donc " ’* ~ équations, semblables à l’équation (6), ou à celle-ci, citée pour exemple,
(7) M’ + M’" = z, M",
Toutes ces relations peuvent être groupées de deux manières.
