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qu’on peut faire subir à l’expression (i), et que ce module est aussi cekri de A (f). En outre, A ('> ou Ar’ correspond au même sous-facteur - que A, le multiplicateur r l ayant pour module l’unité.
Le nombre A sera divisible par un autre nombre complexe D = à -+- < ?, r + < ? 2 r 2 +... + ( ?„, r"~ dont les coefficients entiers sont donnés, s’il est possible de satisfaire à l’équation
a + a, ;•+ a 2 r 2 -+-...-+- a„ (r""’
= (< ? + *, r -h < ? 2 r a 4-... -+- < ?„, r"-*) (e + e, r + e 2 r 2 +... + e„, r"- «)
par des valeurs entières de e, s, , e 2, ..., ê„, ; il le sera encore, s’il peut suffire, pour remplir cette condition, d’augmenter d’un même nombre tous les coefficients a, ou tous les coefficients < ?. Dans ce cas de divisibilité, le nombre complexe E = e 4- s, r + e 2 r 2 +’...-+- £„, r""’ sera le quotient de A par D ; A sera aussi divisible parE) 1 , et le quotient sera E (n ~’). Le module de A sera le produit des modules de D et de E.
IS. "■
Soient maintenant un autre nombre complexe
B. = 13 + /3, r + JS 2 r 2 +... + j3 n , r""
et la série de n nombres B, B’, B", ..., B < ’, -, qui lui correspond. La somme (A" -+■ B") des n ièmes puissances de A et B est divisible par (A -t- B) ; cette somme est identiquement égale à [(A (,) B + B], quel que soitf ; elle est donc pareillement divisible par A’-+- B, par A" 4- B, ..., par A’" - " + B. D’ailleurs, elle n’est autre que le produit de ces n diviseurs :, en effet, lasérie des nombres A, A’, A", ..., A (n,) se forme eu multipliant successivement A par les n racines r (0), r’, r", ..., r (/, -,) de l’équation r" — 1 = 0 ; et si l’on désigne généralement par S À la somme des produits de k facteurs, qu’on peut former avec ces racines, on aura
(B + A)(B + A’)...[B4-AO-'>]
= [B -+r Ar(°>](B -+- Ar’)(B + Ar")... [B + àt’— «>] = B" + S, AB"-’ + S 2 A 2 B n - 2 +... + S„ A" = B" + A" ; car, d’après la composition de l’équation aux racines r (0), r’, ..., r (n-< >, ou a S. = o, S 2 — o, ..., S„, = o, S, = i. Or on peut mettre ce produit sons une autre forme, et poser (5) A n +B"=(A+B)[A’+B(n -, >][A"+B< n - 2 r|...[A<"+B«"-'>]...[A^-’i+B’].
