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» La première de ces équations, et celles en $y,z$, qui lui sont analogues, donneront par le changement de l’indice $i,$ toutes les dérivées partielles de $u$, au moyen de celles de $u_{n}$ de sorte que si l’on connaît $u_{n}$, on pourra en déduire immédiatement la valeur de $u$ par de simples quadratures, et sans passer par les valeurs intermédiaires de $u_{n-1},u_{n-2},\ldots$

» La seconde des équations ci-dessus est une équation de condition à laquelle devra satisfaire toute différentielle exacte du $n^{me}$ ordre, et par suite celles d’un ordre plus élevé. Il est d’ailleurs visible que l’on a des équations semblables relatives aux variables $y$ et $z$.

» Après cela je démontre, par les règles les plus simples du calcul intégral, que toute fonction qui satisfait à toutes les conditions d’intégrabilité d’un ordre donné, est réellement une différentielle exacte de cet ordre. Enfin, je termine mon travail par un théorème qui simplifie considérablement les applications pratiques des conditions d’intégrabilité, et dont voici l’énoncé.

» Soit $\mathrm {P}$ une fonction quelconque de $x,x_{1},x_{2},\ldots x_{m},$ $y,y_{1},y_{2},\ldots$ $y_{m},$ $z,z_{1},z_{2},\ldots z_{m}.$

» Soit $\mathrm {Q}$ ce que devient $\mathrm {P}$ quand on suppose que $x$ est constante et égale à $a.$

» Soit $\mathrm {R}$ ce que devient $\mathrm {Q}$ quand on suppose que $y$ est constante et égale à $b.$

» Soit $\mathrm {S}$ ce que devient $\mathrm {R}$ quand on suppose que $z$ est constante et égale à $c.$

» Cela posé, $\mathrm {P}$ sera une différentielle exacte de $n^{me}$ ordre, si l’on a identiquement

${\begin{aligned}o&={\frac {\rm {dP}}{\mathrm {d} x}}-\mathrm {d} .{\frac {\rm {dP}}{\mathrm {d} x{_{1}}}}+{\mathrm {d} ^{2}}.{\frac {\rm {dP}}{\mathrm {d} x{_{2}}}}-\ldots \\o&={\frac {\rm {dP}}{\mathrm {d} x{_{1}}}}-2\mathrm {d} .{\frac {\rm {dP}}{\mathrm {d} x{_{2}}}}+3{\mathrm {d} ^{2}}.{\frac {\rm {dP}}{\mathrm {d} x{_{3}}}}-\ldots \\&\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\o&={\frac {\rm {dP}}{\mathrm {d} x_{n-1}}}-n{\mathrm {d} }.{\frac {\rm {dP}}{\mathrm {d} x{_{n}}}}+{\frac {n.n+1}{1.2}}\ {\mathrm {d} ^{2}}.{\frac {\rm {dP}}{\mathrm {d} x_{n+1}}}-\ldots \\o&={\frac {\rm {dQ}}{\mathrm {d} y}}-\mathrm {d} .{\frac {\rm {dQ}}{\mathrm {d} y{_{1}}}}+{\mathrm {d} ^{2}}.{\frac {\rm {dQ}}{\mathrm {d} y{_{2}}}}-\ldots \\o&={\frac {\rm {dQ}}{\mathrm {d} y{_{1}}}}-2{\mathrm {d} }.{\frac {\rm {dQ}}{\mathrm {d} y{_{2}}}}+3{\mathrm {d} ^{2}}.{\frac {\rm {dQ}}{\mathrm {d} y{_{3}}}}-\ldots \\&\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{aligned}}$