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c’est-à-dire
ε′ ≥ ε0.
ε0 = E(1) est donc le plus petit de tous les nombres ε.
C. Si ε′ est un nombre ε quelconque, ε″ le nombre ε immédiatement supérieur et γ un nombre quelconque intermédiaire,
ε′ < γ < ε″
E(γ) est égal à ε″.
Démonstration. — De
ε′ < γ < ε″
il résulte
ωε′ < ωγ < ωε″,
c’est-à-dire
ε′ < γ1 < ε″.
Nous en déduisons par la même procédé
ε′ < γ2 < ε″,
et ainsi de suite. Nous avons en général
ε′ < γν < ε″,
d’où il résulte
ε′ < E(γ) ≤ ε″.
Mais E(γ) est un nombre ε (th. A) et ne peut être inférieur au nombre ε″ qui est le nombre ε venant immédiatement après ε′. Donc
E(γ) = ε″.
ε′ + 1 n’est pas un nombre ε, car il résulte de l’équation de définition ε = ωε, que tous les nombres ε sont de deuxième espèce ; donc ε′ + 1 est sûrement plus petit que ε″ et par suite :
