n’est pas vérifiée pour toutes les valeurs finies de ν ; car, sans cela, l’on aurait : lim. ωα0ν = ωα0ω ≤ α.
Nous désignons par κ0 + 1 le plus petit nombre fini ν pour lequel
(1) montre que κ0 est plus grand que 0.
Il y a donc aussi un nombre bien déterminé κ0 de la première classe des nombres, tel que
| (2) | ωα0κ0 ≤ α, ωα0(κ0 + 1) > α. |
Si nous posons α − ωα0κ0 = α′, nous avons
| (3) | α = ωα0κ0 + α′ |
et
| (4) | 0 < α′ < ωα0, 0 < κ0 < ω. |
Le nombre α ne peut être représenté que d’une seule façon sous la forme (3), si l’on suppose vérifier les conditions (4). Car de (3) et (4) résultent les relations (2) et enfin les relations (1).
Mais le seul nombre vérifiant les relations (1) est α0 = β − 1, et le nombre κ0 est défini d’une façon unique par les relations (2). De (1) et (4) résultent encore, eu égard au théorème F, § 18,
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
A. Tout nombre α de la deuxième classe peut être mis d’une seule manière sous la forme
où
α′ est toujours plus petit que α, et α0 est inférieur ou égal à α.
