Page:Cantor - Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, trad. Marotte, 1899.djvu/81

Démonstration. — Dans les cas ξ = 0, ξ = 1, le théorème est évident. Nous allons montrer que s’il est vrai pour toutes les valeurs de ξ plus petites que α > 1, il est aussi vrai pour α.

Si α est de la première espèce, on a par hypothèse :

α₁ ≤ γ^α₁

et par suite :

α₁γ ≤ γ^α₁γ = γ^α

ou

γ^α ≥ α₁ + α₁(γ − 1).

Puisque α₁ et γ − 1 sont au moins égaux à 1 et que α₁ + 1 = α, on a :

γ^α ≥ α.

Si, au contraire, α est de la deuxième espèce, et si

α = lim. α_ν

α_ν est plus petit que α et l’on a, en vertu de l’hypothèse faite,

α_ν ≤ γ^α_ν

et par suite

lim. α_ν ≤ lim. γ^α_ν,

c’est-à-dire :

α ≤ γ^α.

S’il y avait des valeurs de ξ pour lesquelles ξ > γ^ξ, l’une d’elles devrait être la plus petite ; désignons-la par α. Pour toutes les valeurs de ξ < α, on aurait

ξ ≤ γ^ξ

et au contraire

α > γ^α,

ce qui est en contradiction avec ce qui vient d’être démontré. Nous avons ainsi pour toutes les valeurs de ξ

γ^ξ ≥ ξ.