Démonstration. — Soit α = F. Si F a un élément g de rang plus élevé que tous les autres, on a F = (A, g) où A est le segment déterminé par g dans F. C’est alors le premier cas, on a
Il existe alors un nombre immédiatement inférieur à α qui est nommé α1.
Si F ne possède aucun élément supérieur, considérons l’ensemble {α′} de tous les nombres de la première et de la deuxième classe qui sont plus petits que α. Cet ensemble où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante est semblable à l’ensemble F (th. H) ; parmi les nombres α′, aucun donc n’est supérieur à tous les autres. D’après le théorème I, l’ensemble {α′} peut se mettre sous la forme d’une série simplement infinie {α′ν}. Dans cette suite, après le terme α′1 peuvent se présenter d’abord des termes plus petits α′2, α′3, …, mais il y aura certainement des termes plus grands ; car α′1 ne peut être plus grand que tous les autres termes puisqu’un tel terme n’existe pas parmi les nombres {α′ν}. Soit α′ρ2 le terme de plus petit indice supérieur à α′1. Soit de même α′ρ3 le terme de plus petit indice supérieur à α′ρ2. En poursuivant ainsi, nous obtenons une série infinie de nombres croissants, c’est-à-dire une série fondamentale
Nous avons
et comme évidemment ν ≤ ρν nous avons
Il en résulte que tout nombre α′ν et par suite tout nombre
