et enfin l’ensemble
qui est aussi bien ordonné. Alors
Il s’agit de démontrer que
Mais comme les nombres β1, β2, …, βν, …, appartiennent à la première ou à la deuxième classe, on a
donc
et puisque G est toujours un ensemble transfini, le cas G < ℵ0 est exclu.
Deux séries fondamentales {αν} et {α′ν} de nombre de la première et de la deuxième classe numérique sont dites liées (§ 10) (zusammengehörig) et nous écrivons
| (9) | {aν} ǁ {a′ν} |
lorsqu’à chaque nombre fini ν, on peut faire correspondre deux nombres λ0, μ0, tels que
| (10) | α′λ > αν si λ ≥ λ0, |
| (11) | αμ > α′ν si μ ≥ μ0. |
D. Les nombres lim. αν et lim. α′ν, correspondant à deux séries fondamentales {αν} et {α′ν}, sont alors et seulement alors égaux, lorsque {aν} ǁ {a′ν}.
Démonstration. — Posons pour abréger lim. αν = β, lim. α′ν = γ.
Supposons d’abord {aν} ǁ {a′ν} ; nous affirmons que β = γ. Si en effet β n’était pas égal à γ, on aurait par exemple β < γ. À
