Car si G = β, il y a dans G un segment B tel que B = α ; en nommant S le reste correspondant, nous avons :
et ainsi
(11) | β − α = S. |
La détermination de β − α résulte de ce que le segment B de G, et par suite le reste S, sont parfaitement déterminés (th. D, § 13).
Nous déduisons encore des formules (4), (8), (10) les suivantes :
(12) | (γ + β) − (γ + α) = β − α ; |
(13) | γ(β − α) = γβ − γα. |
Il est à remarquer que l’on peut toujours faire la somme d’un nombre infini de nombres ordinaux ; cette somme est un nombre ordinal déterminé, dépendant de l’ordre de succession des ensembles sommés.
Soit par exemple
une suite simplement infinie quelconque de nombres ordinaux :
(14) | βν = Gν |
l’ensemble
(15) | G = (G1, G2, …, Gν, …) |
est un ensemble bien ordonné (th. E, § 12) dont le nombre ordinal β représente la somme des β. Nous avons ainsi :
(16) | β1 + β2 + … + βν + … = G = β, |
et l’on a toujours, comme il résulte facilement de la définition du produit :
(17) | γ(β1 + β2 + … + βν + …) = γβ1 + γβ2 + … + γβν + … |