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Car si G = β, il y a dans G un segment B tel que B = α ; en nommant S le reste correspondant, nous avons :

G = (B, S),
β = α + S,

et ainsi

(11) β − α = S.

La détermination de β − α résulte de ce que le segment B de G, et par suite le reste S, sont parfaitement déterminés (th. D, § 13).

Nous déduisons encore des formules (4), (8), (10) les suivantes :

(12) (γ + β) − (γ + α) = β − α ;
(13) γ(β − α) = γβ − γα.

Il est à remarquer que l’on peut toujours faire la somme d’un nombre infini de nombres ordinaux ; cette somme est un nombre ordinal déterminé, dépendant de l’ordre de succession des ensembles sommés.

Soit par exemple

β1, β2, …, βν, …

une suite simplement infinie quelconque de nombres ordinaux :

(14) βν = Gν

l’ensemble

(15) G = (G1, G2, …, Gν, …)

est un ensemble bien ordonné (th. E, § 12) dont le nombre ordinal β représente la somme des β. Nous avons ainsi :

(16) β1 + β2 + … + βν + … = G = β,

et l’on a toujours, comme il résulte facilement de la définition du produit :

(17) γ(β1 + β2 + … + βν + …) = γβ1 + γβ2 + … + γβν + …