Si α et β sont deux nombres ordinaux arbitraires, ils peuvent se comporter, l’un par rapport à l’autre, de trois façons différentes. Soient, en effet, deux ensembles bien ordonnés F et G, tels que
d’après le théorème N, § 13, trois cas, s’excluant l’un l’autre, peuvent se présenter :
1o |
F ≃ G. |
2o Il y a un segment déterminé B1 de G, tel que
3o Il y a un segment déterminé A1 de F, tel que
Comme on le voit facilement, ces relations sont encore conservées lorsque F et G sont remplacés par des ensembles respectivement semblables F′ et G′ ; il en résulte que les types α et β ont, l’un relativement à l’autre, trois positions qui s’excluent mutuellement.
Dans le premier cas, α = β ; dans le deuxième, nous dirons que α est < β ; dans le troisième que α est > β.
Nous obtenons ainsi le théorème :
A. Si α et β sont deux nombres ordinaux quelconques, l’on a : ou α = β, ou α < β, ou α > β.
De la définition de ces relations de grandeur, il résulte facilement :
B. Si l’on a trois nombres ordinaux, α, β, γ, tels que α < β, β < γ, on a aussi α < γ.
Les nombres ordinaux forment ainsi, rangés par ordre de grandeur, un ensemble simplement ordonné ; nous montrerons plus tard que c’est un ensemble bien ordonné.
Les opérations de l’addition et de la multiplication des types ordinaux des ensembles simplement ordonnés, que nous avons
