et dans le troisième cas, qu’il y a un segment A1 de F tel que
Mais on ne peut avoir en même temps F ≃ G et F ≃ B1, car il en résulterait G ≃ B1, ce qui est contraire au théorème B ; de même, on ne peut avoir à la fois F ≃ G et G ≃ A1.
De même aussi, l’existence simultanée de F ≃ B1 et G ≃ A1 est impossible ; car, d’après le théorème A, la condition F ≃ B1 entraîne l’existence d’un segment B′1 de B1 tel que A1 ≃ B′1. Nous aurions donc aussi G ≃ B′1, ce qui est contraire au théorème B.
O. Si une partie F′ d’un ensemble bien ordonné F n’est semblable à aucun segment de F, elle est semblable à F lui-même.
Démonstration. — D’après le théorème G, § 12, F′ est un ensemble bien ordonné. Si F′ n’était semblable ni à F, ni à une partie de F, il y aurait, d’après le théorème N, un segment F′1 de F′ qui serait semblable à F. Mais F′1 est une partie de ce segment A de F qui est déterminé par l’élément qui détermine le segment F′1 de F. Par suite, l’ensemble F devrait être semblable à une partie d’un de ses segments, ce qui est contraire au théorème C.
§ 14. — Les nombres ordinaux des ensembles bien ordonnés.
D’après le § 7, chaque ensemble simplement ordonné M a un type ordinal déterminé M ; c’est le concept général qui résulte de M lorsque, en tenant compte de l’ordre de succession des éléments, on fait abstraction de leur nature, de sorte qu’ils deviennent de simples unités ayant des positions relatives déterminées. Tous les ensembles semblables entre eux, et seulement ceux-ci, possèdent le même type ordinal.
Le type ordinal d’un ensemble bien ordonné F sera nommé un nombre ordinal (Ordnungszahl).
