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théorème du Rolle et ne suppose point, par conséquebt, que l’on ait déterminé les valeurs exactes des nombres de la suite de Rolle, c’esl-à -dire des racines de f(x). Nous, nous nous placerons toutefois d’emblée dan* l’hypothèse où l’on est sûr (1) que t’intervalle c, d est compris à l'intérieur de l’un des intervalles de Rolle — tels que (q,§) — définis au n°574. En ce cas la dérivée f(x) conserve un signe constant dans l’intervalle c, d [puisqu’elle ne s’annule pasj ; l’arc de courbe CD qui représente f(x) dans cet intervalle ne cessee donc de monter ou de descendre, en traversant d’ailleurs l’axe des x, puisque, par hypothèse, f(x) a une racine dans l’intervalle. — Nous ferons en outre cette hypothèse que f(x) ne change pas de signe dans l'intervalle c, d. De là résulte que f(x) est toujours croissant ou toujours décroissant. Or f{x) est (554) le coefficient angulaire de la tangente a la courbe au point d’abscisse x et d’ordonnée f(x) ; dire, dès lors,que ce coefficient varie sans cesse dans le même sens pour x croissant de c à d, c’est dire que la direction de la tangente (en un point qui parcourt l’arc de courbe de C à D) ne cesse de se rapprocher, soit de la direction parallèle à l’axe Oy. soit de la direction parallèle à 0x.
577. - Dans ces conditions, quatre cas de figure peuvent se présenter (’ :
1°" Si f(c) > o et f(d) < 0, la courbe esl descendante. Si le signe de f(x) est -, f{x) va en décroissant ; la direction de la
I’I Les extrémités c, d de l'intervalle considéré peuvent être des nombres de la sutes de Rolle ou peuvent être d’autres nombres d’intervalle c, d étant par exemple, un intervalle compris dans l’un des intervalles a1,a2, (x, Beta, ... considérés au n°571). i On pourra toujours obtenir un intervalle c, d satisfaisant aux conditions que nous allons énoncer en appliquant le théorème de Rolle, aux fonctions f(x), f(x), f(x), ... (méthode des cascades, voir n°573) et en essayant diverses valeurs particulières de x, c’est-à-dire calculant les valeurs de f(x), ou f(x) ou f(x),pour diversesv aleurs de x voisines de la racine inconnue et comparant les signes des nombres obtenus. Nous n’entrerons point ici dans le détail de cette opération dont l’intérêt est purement technique.
Dans le 1er et 4e cas on dit que la courbe tourne sa concavité vers les y positifs (cf. p. 510, note 4).
