564 L'ALGÈBRE GÉOMÉTRIQUE
qui tend vers y — a pour limite y ou f(x) : nous avons donc, comme nous lèavions annoncé : F’(x) = f(x).
Ainsi l’aire AMNB limitée au-dessus de l’axe des x par la courbe représentative d'une fonction continue f(x) entre les abscisses OA = a et OB = x figure géométriquement une fonction primitive de f(x). Cette fonction primitive n’est déterminée, comme il doit être, qu’à une constante arbitraire près, puisque l’abscisse a des points A et M est arbitraire. Ainsi, en déplaçant la droite AM sur la figure 211, on forme une aire A1M1NB qui est, tout comme AMNB, une fonction primitive de f(x) : les deux fonctions primitives différent entre elles de la valeur du morceau A, M,MA, valeur qui est absolument indépendante de la position du point B et qui est, par conséquent, une constante par rapport à x | voir, pour plus de détails, le Trois. Livr., chap. 11, § 3].
569. — Si la courbe était située au-dessus de l’axe des x, la dimension BN du petit rectangle BB'KN (fig. 212 oÙ sont conservées les notations du n° 568) ne serait pas égale à l’ordonnée y du
Figure 212 Figure 213
point N. mais bien à —y, puisque y serait négatif. Donc le rapport de l’accroissement de l’aire AMNB à l’accroissement Δx de la variable aurait pour limite — y, pour Δx tendant vers 0. Mais nous pouvons faire en sorte que ce rapport ait toujours pour limite y = f(x) en adoptant la convention suivante : les aires des segments plans situés au-dessous de l’axe des x seront regardées comme avant des valeurs négatives : si alors l’arc de courbe MN coupe une ou plusieurs fois l’axe des x, ce que nous appellerons « aire AMNB » sera la différence entre les aires des surfaces déterminées par l’arc MN au-dessus et au-dessous de l’axe des x | sur la figure 213 la différence : (aire AMC + -aire DNB - aire CPD| ; l’aire AMNB sera positive ou négative suivant que les portions situées au-dessus des x : l’emporteront ou non sur les portions situées au-dessous.
