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gression . Nous pourrions nous proposer pareillement de calculer la somme des carrés des termes de la progression, c’est-à-dire la somme


ou, plus généralement, la somme des mèmes puissances des termes de la progression, c’est-à-dire la somme


m est un nombre quelconque.

C’est là un problème qui a joué un rôle important dans le développement de l’Analyse mathématique, et qui a, pour ce motif, retenu l’attention des savants les plus illustres.

Envisageons en particulier le cas où la progression arithmétique est celle des n premiers nombres.

La somme des carrés des n premiers nombres était connue d’Archimède[1] (IIIe siècle av. J.-C.). La somme des cubes a été également calculée dans l’antiquité.

La somme des quatrièmes puissances est donnée sous une forme imparfaite il est vrai, par Ghiyath addin al Kashi [2] qui vivait à la cour tartare, à Samarcande, dans la première moitié du XVe siècle.

Johann Faulhaber[3], professeur de mathématiques à Ulm (1580-1635) effectua le calcul des puissances semblables des n premiers nombres jusqu’à la onzième puissance.

Au XVIIe siècle enfin, le problème fut résolu dans toute sa généralité. Il fut proposé à Fermat par le Père Mersenne, et Fermat déclara en septembre 1636 (lettre à Mersenne, Œuv. de Fermat, II, p. 69) : « Problema totius fortasse Arithmetices pulcherrimum construximus, quo non solum in quavis progressione summam quadratorum et cuborum venamur, sed omnium omnino potestatum in infinitum, methodo generalissima, quadratoquadratorum, quadratocuborum, cubocuborum, etc. ».

  1. περὶ ἑλίκων, X. Les nombres étant représentés par des grandeurs, l'évaluation de la somme de leurs carrés est, pour Archimède, un problème de géométrie.
  2. Ed. WOEPCKE, Paris, 1853, p. 60-61.
  3. Herrn Johann Faulhabers, continuatio seiner neuen Wunderkünste, Zurich, 1617 : cf. CANTOR, Vorlesungen, t. II, p. 718.