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deuxième partie. — la relativité généralisée.

eu égard aux conditions aux limites, est

${\frac {\partial h_{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}={\frac {1}{2}}g_{\mu }^{\sigma }{\frac {\partial h}{\partial x_{\sigma }}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial h}{\partial x_{\mu }}}\cdot$

Ceci posé, considérons l’expression

(82-14)

$-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left[g^{\alpha \beta }\left(\!{\frac {\partial h_{\nu \beta }}{\partial x_{\mu }}}+{\frac {\partial h_{\mu \beta }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial h_{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\!\right)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\!\left(\!g^{\mu \nu }{\frac {\partial h_{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}\!\right)$

qui, au degré d’approximation, se réduit à

$-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h_{\nu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\mu }}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h_{\mu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\nu }}}+{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}h_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x_{\mu }\,\partial x_{\nu }}},$

d’après la condition qui précède, les deux premiers termes détruisent le dernier terme, et il ne subsiste que le terme

${\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}h_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}$

que nous avons posé égal à $\mathrm {R} _{\mu \nu }.$

D’autre part, les coordonnées étant très voisines de coordonnées galiléennes, $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ se réduit à

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{\mu \nu }&=-{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}{\begin{Bmatrix}\mu \alpha \\\alpha \\\end{Bmatrix}}\\&=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}\!\left[g^{\alpha \beta }\!\left(\!{\frac {\partial g_{\nu \beta }}{\partial x_{\mu }}}+{\frac {\partial g_{\mu \beta }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\!\right)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\!\left(\!g^{\mu \nu }{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\nu }}}\!\right)\,;\end{aligned}}$

comparant cette expression à (82-14) qui, dans un système de coordonnées tel que ${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}=0,$ représente aussi $\mathrm {R} _{\mu \nu },$ il est clair que les quantités très petites $h_{\mu \nu }$ peuvent être prises égales aux écarts des $g_{\mu \nu }$ à partir des valeurs constantes galiléennes. Dans un tel système de coordonnées, ces écarts satisfont l’équation (81-14).

Il importe maintenant d’examiner la condition ${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}=0$ et de voir, d’abord, si cette condition est réalisable avec notre degré d’approximation, ensuite quelles sont les coordonnées employées et quelle est la signification physique du résultat.

Dans toute région vide, on a évidemment ${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}=0.$ Quelles que soient les coordonnées, pourvu que celles-ci diffèrent très peu