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DÉFINITION DES FONCTIONS
Les fonctions continues et , étant égales quand et sont rationnels, sont aussi égales quand et sont quelconques, d’après le § 39. Donc on a toujours
.
53. La fonction de , , où est un nombre rationnel, est continue ; car si est positif, soit , est fonction continue (§ 50) de , qui est elle-même fonction continue de ; si a est négatif, soit , on a , est fonction continue, donc aussi.
54. Quand et sont rationnels, on a
(1)
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.
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Étendons ce résultat au cas où et sont quelconques.
1o Supposons rationnel, étant quelconque ; formons une suite de nombres rationnels , , , , tendant vers . On a
et par suite, d’après le § 53 ( étant rationnel),
.
D’autre part, on a, et étant rationnels,
;
donc
.
2o Supposons et quelconques ; soit une suite de nombres rationnels , , , , tendant vers .
On a, d’après la continuité de la fonction exponentielle,
.
D’après le cas 1o, on a
.
Donc
.
L’égalité (1) est donc vraie dans tous les cas.