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ou de la méthode

(Théorème IX).

Tout segment sphérique a son centre de gravité sur son axe en un point tel que sa distance au sommet soit à sa distance à la base, comme la hauteur du segment plus quatre fois la hauteur du

(5)

ΩΑ/2 R = cône/cône (1 + R + h′/h) = h/h + R + h′ = h/3 R ;

d’où :

(6)

ΩΑ = 2 h/3.

Ainsi le c.g. Ω du système (segm. ΑΒΔ + cône ΑΕΖ) est situé aux 2/3 de ΑΗ à partir de Α. Le cône seul (lemme VIII) a son c.g. en Φ aux 3/4 de ΑΗ à partir de Α. Si donc on appelle Χ le c.g. cherché du segment seul, on a (d’après lemme I) :

(7)

ΧΩ/ΩΦ = cône ΑΕΖ/segm. ΑΒΔ = h/R + h′ = 2 h/h + 3 h′.

Comme ΩΦ = ΑΦ − ΑΩ = 3/4 h − 2/2 h = h/12 il vient donc :

(8)

ΧΩ = h²/12 (R + h′) ;

ΑΧ = ΑΩ − ΧΩ = 2 h/3 − h²/12 (R + h′) = h/3 [2 − h/4 (R + h′) ] ;
ΧΗ = ΩΗ + ΧΩ =  h/3 + h²/12 (R + h′) = h/3 [1 + h/4 (R + h′) ],

et par conséquent :

ΑΧ/ΧΗ = 8 R + 8 h′ − h/4 R + 4 h′ + h = 12 h′ + 3 h/6 h′ + 3 h = 4 h′ + h/2 h′ + h,

ce qui est l’expression cherchée.