Cette page a été validée par deux contributeurs.
44
des théorèmes mécaniques
deux plans, ΔΑ l’axe du segment, que nous prolongeons d’une longueur ΑΘ = ΔΑ, et considérons ΔΘ comme un levier dont le milieu fixe est Α.
La base du segment est le cercle ΒΓ, perpendiculaire à ΑΔ. Imaginons un cône ayant pour base ce cercle et pour sommet le point Α, et un cylindre ayant pour base ce même cercle et pour axe ΑΔ. Dans le rectangle ΕΖΓΒ, menons une parallèle quelconque ΜΝ à ΒΓ, et par ΜΝ un plan perpendiculaire à ΑΔ, qui coupera le cylindre suivant le cercle ΜΝ, et le segment de paraboloïde suivant le cercle ΞΟ.
ΒΑΓ étant un arc de parabole, ΑΔ l’axe de la parabole, ΞΣ, ΒΔ des ordonnées[1], on a[2] :
(1) |
ΔΑΑΣ = ΒΔ²ΞΣ², |
et comme ΔΑ = ΘΑ, (ΒΔ = ΜΣ), il vient :
(2) |
ΘΑΑΣ = ΜΣ²ΞΣ². |
Mais cette dernière expression représente aussi
- ↑ M. à m. « des droites tirées ordonnément », τεταγμένως κατηγμέναι. Ailleurs (II, 231, Heib.), Archimède explique ce terme ainsi : « cordes parallèles à la tangente au sommet de la courbe ».
- ↑ « Le carré de l’ordonnée est proportionnel à l’abscisse ». C’est l’équation fondamentale de la parabole, qui se démontre par les moyens élémentaires (cf. Rouché : Géométrie, no 1025). Elle figurait dans les Éléments des sections coniques d’Aristée et d’Euclide, auxquels Archimède, dans la Quadrature de la parabole, prop. 3 (II, 300, Heib.), renvoie pour la démonstration.
