On a, dès lors, — à cause des parallèles ΖΑ, ΜΞ, ΕΔ : — ΜΝ = ΝΞ, ΖΚ = ΚΑ.
D’autre part, on a :
(1) |
ΓΑΑΞ = ΜΞΞΟ, |
car ceci a été démontré dans un lemme[1].
- ↑ Ο partage ΜΞ comme Ξ partage ΑΓ. Cette proposition s’établit facilement en s’appuyant sur la propriété de la parabole rapportée à une tangente et au diamètre conjugué : y²x = constante. Prenons Γ pour origine et pour axes des coordonnés la tangente ΓΕ et la parallèle au diamètre menée par Γ.
On a ΑΖΓΖ² = ΟΜΓΜ², ou (1) ΑΖΟΜ = ΓΖ²ΓΜ² ; or : (2) ΑΖΞΜ = ΓΖΓΜ ; divisons membre à membre (1) et (2) : il vient (3) ΞΜΟΜ = ΓΖΓΜ = ΓΑΓΞ, c’est-à-dire : Ο partage ΜΞ comme Ξ partage ΑΓ.
En particulier, Δ étant milieu de la corde ΑΓ, le sommet Β du diamètre conjugué sera le milieu de ΔΕ (démonstration de la proposition ΕΒ = ΒΔ, plus simple que celle d’Apollonius). [Démonstration communiquée par R. Prévost.]
Archimède, dans la Quadrature de la parabole (§ 4 et 5), obtient cette relation (ΑΓΑΞ = ΜΞΟΞ) par un calcul un peu plus long. Il écrit le rapport du carré des ordonnées aux abscisses en les rapportant à la tangente en Β et au diamètre conjugué. Soit Οπρ la parallèle à la base du segment : ΒΔΒπ = ΑΔ²Οπ² = ΔΓ²ΞΔ² ; en remplaçant ΒΔΒπ par ΒΓΒρ, et ΔΓΞΔ par ΒΓΒΝ, il vient : ΒΓΒρ = ΒΓ²ΒΝ², ou ΒΓΒΝ = ΒΝΒρ = ΒΓ + ΒΝΒΝ + Βρ = ΓΝΝρ.
Remplaçons de nouveau ΒΓΒΝ par ΔΓΔΞ et ΓΝΝρ par ΝΞΝΟ ; il vient : ΔΓΞΔ = ΝΞΝΟ ou : 2 ΔΓΔΓ − ΞΔ = 2 ΝΞΝΞ − ΝΟ, c’est-à-dire ΑΓΑΞ = ΜΞΟΞ.
