plan tangent est unique. Il a cité, comme exemple, la surface qui serait engendrée par une parabole tournant autour de son axe, tandis que le paramètre varierait suivant une fonction donnée de l’angle décrit. Il est évident qu’à son sommet cette espèce de paraboloïde aurait pour plan tangent unique le plan perpendiculaire à l’axe de rotation ; qu’en ce même point, les sections normales seraient la parabole génératrice dans ses diverses formes et positions. Or, les rayons de courbure de ces lignes devant nécessairement varier suivant la même loi que leurs paramètres, pourraient, à l’aide d’un choix convenable de la fonction qui lie l’angle décrit à la grandeur du paramètre, passer par autant d’alternatives de maxima et de minima qu’on le désirerait. Les sections principales ne seraient donc plus au nombre de deux seulement, comme le voulait le théorème d’Euler.
Ces principes découverts par Euler, en tant que méritant les noms de théorèmes généraux ne peuvent être en défaut sans qu’on puisse en trouver la raison dans un examen approfondi des conditions de la question ; il faut montrer, pour l’honneur des théories mathématiques, qu’il eût été possible, à priori, de prévoir ces cas exceptionnels et d’assigner les circonstances dont ils dépendent. Tel est, en effet, le principal objet du Mémoire de M. Poisson.
Je ne terminerai pas sans signaler une conséquence intéressante qui découle aussi de l’analyse de M. Poisson. Le théorème de Meunier, sur les rayons de courbure des sections obliques, se vérifie alors même que celui d’Euler n’a plus lieu.
