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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {1}{(a-z)^{2}+b^{2}+c^{2}}}+{\frac {1}{(a+z)^{2}+b^{2}+c^{2}}}={\frac {2\left(z^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}{\left(z^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-4a^{2}z^{2}}}.$

Sa différentielle, prise par rapport à $z$ et divisée par $\operatorname {d} z$ est

$4z.{\frac {4a^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-\left(z^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}{\left(z^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-4a^{2}z^{2}}}$

d’où l’on tire, en égalant à zéro,

$z=0,\qquad z={\sqrt {\left(2a-{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}.$

L’analogie de ces résultats avec ceux que nous avons obtenus précédemment, nous autorise à poser sur-le-champ les maximes que voici :

Soit portée une des lumières au centre de la table, si alors la distance de cette lumière à l’un quelconque des angles n’est pas moindre que la longueur de cette table, ce sera en cet endroit que les deux lumières devront être placées pour que les angles soient autant éclairés qu’ils peuvent l’être.

Mais si, comme il arrivera le plus souvent, la distance de cette lumière à l’un des angles est moindre que la longueur de la table ; alors, pour que les angles reçoivent le plus de lumière possible, les deux lumières devront être placées sur la droite qui joint les milieux des petits côtés, de part et d’autre du centre, de manière que les distances de leurs projections à ce centre soient

${\sqrt {\left(2a-{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}\,;$

quantité très-facile à construire.

PROBLÈME II. Résoudre le même problème pour une table elliptique ; les deux lumières devant être placées de telle manière que