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RÉSOLUES.

trièdre tri-rectangle mobile, dont les arêtes sont assujetties à toucher perpétuellement une surface fixe du second ordre ?

Solution. Soit

$AX^{2}+BY^{2}+CZ^{2}+2A'X+2B'Y+2C'Z=0\qquad$(8)

l’équation de la surface fixe du second ordre. En la combinant (1) avec celles de l’arête $r,$ pour éliminer $X,Y,Z$ exprimant que l’équation résultante du second degré en $r$ a ses deux racines égales, et posant, pour abréger,

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'x+2B'y+2C'z=K$

${\begin{aligned}Ax+A'=D,&\qquad D^{2}-AK=D'\\By+B'=E,&\qquad E^{2}-BK=E'\\Cz+C'=F,&\qquad F^{2}-CK=F'\\\end{aligned}}$

on aura

$D'a^{2}+E'b^{2}+F'c^{2}+2EFbc+2FDca+2DEab=0.$

On exprimera donc que les trois arêtes sont tangentes à la surface courbe, en écrivant

${\begin{array}{lll}D'a^{2}\ \ +E'b^{2}+F'c^{2}&+2EFbc\quad +2FDca\ \ +2DEab&=0,\\D'a'^{2}\ +E'b'^{2}+F'c'^{2}&+2EFb'c'\ +2FDc'a'\ +2DEa'b'&=0,\\D'a''^{2}+E'b''^{2}+F'c''^{2}&+2EFb''c''+2FDc''a''+2DEa''b''&=0,\\\end{array}}$

en ajoutant entr’elles ces trois équations, et ayant égard aux relations (4) et (5), il viendra

$D'+E'+F'=0,$

c’est-à-dire,