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RÉGULIERS.

aux milieux des côtés du circonscrit ; on aura, en faisant toujours abstraction des signes des perpendiculaires,

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =\mathrm {PH'_{1}.PH'_{2}.PH'_{3}\ldots PH'_{m}} .$

Corollaire VII. Le point $\mathrm {P}$ étant sur la circonférence du cercle circonscrit à un polygone régulier de $m$ côtés ; on aura

${\frac {\left(\mathrm {PS_{1}.PS_{2}.PS_{3}\ldots PS_{m}} \right)^{2}}{\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} }}=-(2r)^{m}.$

THÉORÈME IX. Les côtés d’un polygone régulier de $m$ côtés étant prolongés jusqu’à la rencontre d’une transversale quelconque en $\mathrm {L_{1},L_{2},L_{3},\ldots L_{m}}$ et la perpendiculaire $\mathrm {CP}$ abaissée du centre du polygone sur cette droite étant supposée $=a\,;$ en désignant toujours par $2\alpha$ l’angle $\mathrm {T'CP}$ formé par $\mathrm {CP}$ avec le rayon $\mathrm {CT} '=r'$ du cercle inscrit qui se termine au milieu $\mathrm {T} '$ du premier côté $\mathrm {S_{1}S_{2}} \,;$ on aura, si $m$ est impair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =$

${\tfrac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{m}}{\operatorname {Sin} .2m\alpha }}\left\{\left({\sqrt {r'+a}}+{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}+\left({\sqrt {r'+a}}-{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}-2(2a)^{m}\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}\,;$

et, si $m$ est pair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =$

${\tfrac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{m}}{(2\operatorname {Sin} .m\alpha )^{2}}}\left\{\left({\sqrt {r'+a}}+{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}+\left({\sqrt {r'+a}}-{\sqrt {r'-a}}\right)^{2m}-2(2a)^{m}\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}\,;$

abstraction faîte des signes.

Corollaire I. Si la transversale est tangente au cercle inscrit ; et si, ayant pris l’arc $PT'E=m.\mathrm {PT} ',$ on mène par $\mathrm {E}$ une tangente $\mathrm {EL} ,$ rencontrant la transversale en $\mathrm {L} \,;$ en faisant toujours abstraction des signes, on aura, si $m$ est pair,

$\mathrm {PL_{1}.PL_{2}.PL_{3}\ldots PL_{m}} =r'^{m}\,;$

et si $m$ est impair,