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RÉGULIERS.

inscrit et le nombre des côtés du polygone étant toujours $m>n\,;$ on a

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} ={\frac {1.3.5.7\ldots (2n-1)}{1.2.3.4\ldots 2n}}.mr'^{n}.$

Corollaire V. $\mathrm {P}$ étant toujours sur la circonférence du cercle inscrit, et le nombre des côtés du polygone étant encore $m>n\,;$ on aura

${\frac {\mathrm {{\overline {PT}}_{1}^{2}n+{\overline {PT}}_{2}^{2}n+{\overline {PT}}_{3}^{2}n+\ldots +{\overline {PT}}_{m}^{2}n} }{\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} }}=(2r')^{n}.$

Corollaire VI. Tout étant comme dans le précédent corollaire, on aura encore

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} ={\tfrac {mr^{n}}{\varpi }}\int \left(\operatorname {Cos} .{\tfrac {\varpi }{m}}-\operatorname {Cos} .\beta \right)^{m}.\operatorname {d} \beta \,;$

$r$ étant le rayon du cercle circonscrit, et l’intégrale devant être prise entre $\beta =0$ et $\beta =\varpi .$

THÉORÈME. VIII. $\mathrm {P}$ étant quelconque, et $m$ étant le nombre des côtés du polygone ; en posant l’angle $\mathrm {PCT_{1}} =\alpha ,$ on aura

$\mathrm {PH_{1}.PH_{2}.PH_{3}\ldots PH_{m}} =$

$\left({\tfrac {1}{2}}a\right)^{m}\left\{\left({\tfrac {{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}-{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}{{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}+{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}}\right)^{m}+\left({\tfrac {{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}+{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}{{\sqrt {1+{\frac {a}{r'}}}}-{\sqrt {1-{\frac {a}{r'}}}}}}\right)^{m}-2\operatorname {Cos} .2m\alpha \right\}$

Corollaire I. Si, par un point $\mathrm {P}$ extérieur à un polygone régulier