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RÉGULIERS.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} ={\frac {1.3.5.7\ldots (2n-1)}{2.4.6.8\ldots 2n}}.m(2r)^{2n}.$

Corollaire V. $\mathrm {P}$ étant encore quelconque sur la circonférence de cercle circonscrit, et $2m$ étant le nombre des côtés du polygone ; en supposant toujours $n<m$ ; on aura

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+{\overline {PS}}_{5}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m-1}^{2n}}$

$=\mathrm {{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{4}^{2n}+{\overline {PS}}_{6}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} .$

THÉORÈME II. $\mathrm {P}$ étant toujours quelconque, sur la circonférence du cercle circonscrit, et le nombre des côtés du polygone étant $2m+1,$ quel que soit le rapport de $m$ à $n$ ; on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{3}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{5}^{(2n+1)}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m-1}^{(2n+1)}} \\=&\mathrm {{\overline {PS}}_{2}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{4}^{(2n+1)}+{\overline {PS}}_{6}^{(2n+1)}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{(2n+1)}} .\\\end{aligned}}$

THÉORÈME III. Deux polygones réguliers $\mathrm {S_{1}S_{2}S_{3}\ldots S_{2m+1}}$ et $\mathrm {S'_{1}S'_{2}S'_{3}\ldots S'_{2m+1}}$ de $2m+1$ et $2m-1$ côtés étant inscrits au même cercle ; et $\mathrm {P,P'}$ étant deux quelconques des points de la circonférence de ce cercle ; $\mathrm {PQ}$ étant la corde qui divise l’angle $\mathrm {S_{m}PS_{m+1}}$ en deux parties égales, si l’on a $2n<2m-1,$ on aura

$\left\{\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} \right\}-\left\{\mathrm {{\overline {P'S'}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S'}}_{2}^{2n}+\ldots +P'S'_{2n-1}} \right\}$

$={\overline {\mathrm {PQ} }}^{2n}.$

THÉORÈME IV. Deux polygones réguliers $\mathrm {S_{1}S_{2}S_{3}} \ldots S_{2m}$ et $\mathrm {S'_{1}S'_{2}S'_{3}\ldots S'_{2m-2}}$ de $2m$ et $2m-2$ côtés étant inscrits au même cercle ; et deux points $\mathrm {P,P'}$ étant pris quelconques sur la circonférence de ce cercle ; en supposant $n<2m-1,$ on aura

$\left\{\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} \right\}-\left\{\mathrm {{\overline {P'S'}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S'}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {P'S'}}_{2m-2}^{2n}} \right\}$

$=\mathrm {{\overline {PS}}_{m}^{2n}+{\overline {PS}}_{2m}^{2n}} .$

THÉORÈME V. Le point $\mathrm {P}$ étant quelconque, et $m$ étant le nombre des côtés du polygone ; soit $\mathrm {AB}$ le diamètre du cercle circonscrit passant par $\mathrm {P}$ ; soit pris, sur la circonférence de ce cercle, à partir du point $\mathrm {A} ,$ un arc $\mathrm {AE} =m.\mathrm {AS} _{1},\,;$ si de plus on