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ET DU PLAN.

$\operatorname {Cos} .(pq,p'q')={\tfrac {1}{\Delta ^{2}\Pi \Pi '}}\left\{{\begin{aligned}&XX'+(YZ'+ZY')\operatorname {Cos} .(y,z)\\+&YY'+(ZX'+XZ')\operatorname {Cos} .(z,x)\\+&ZZ'+(XY'+YX')\operatorname {Cos} .(x,y)\\\end{aligned}}\right\}\,;$ (21)

ou

$\operatorname {Cos} .(pq,p'q')={\tfrac {1}{\Delta ^{2}\Pi \Pi '}}\left\{{\begin{aligned}&X'\left\{X+Y\operatorname {Cos} .(x,y)+Z\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\+&Y'\left\{Y+Z\operatorname {Cos} .(y,z)+X\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&Z'\left\{Z+X\operatorname {Cos} .(z,x)+Y\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\\end{aligned}}\right\}.$ (22)

$X,Y,Z,\Pi$ et $\Delta$ ont été déterminés précédemment, et on obtiendra $X',Y',Z',$ en changeant dans $X,Y,Z,$ les quantités $A,B,C$ en $A',B',C'\,;$ on aura d’ailleurs

${\begin{aligned}A'=&e'k'-f'h',\\B'=&f'g'-d'k',\\C'=&d'h'-e'g'.\\\end{aligned}}$

On, trouvera, au surplus

${\begin{aligned}X+Y\operatorname {Cos} .(x,y)+Z\operatorname {Cos} .(z,x)=\Delta ^{2}A,\\Y+Z\operatorname {Cos} .(y,z)+X\operatorname {Cos} .(x,y)=\Delta ^{2}B,\\Z+X\operatorname {Cos} .(z,x)+Y\operatorname {Cos} .(y,z)=\Delta ^{2}C.\\\end{aligned}}$

En conséquence, la formule (22) deviendra

$\operatorname {Cos} .(pq,p'q')={\frac {AX'+BY'+CZ'}{\Pi \Pi '}}={\frac {A'X+B'Y+C'Z}{\Pi \Pi '}}\,;$

ou encore

$\operatorname {Cos} .(pq,p'q')={\tfrac {1}{\Pi \Pi '}}\left\{{\begin{aligned}&AA'\operatorname {Sin} .^{2}(y,z)-(BC'+CB')\left\{\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&BB'\operatorname {Sin} .^{2}(z,x)-(CA'+AC')\left\{\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\+&CC'\operatorname {Sin} .^{2}(x,y)-(AB'+BA')\left\{\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\\end{aligned}}\right\}.(23)$

Au moyen de cette dernière formule, il sera très-aisé d’exprimer immédiatement $\operatorname {Cos} .(pq,p'q'),$ en fonction de $d,e,f,g,h,k,$ $d',e',f',g',h',k',$ et des angles que forment deux à deux les axes des coordonnées.

Si, au moyen des conditions (II), on fait successivement coïncider le plan $p'q'$ avec les trois plans coordonnés, on trouvera