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DE LA LIGNE DROITE

${\begin{aligned}X=&A\operatorname {Sin} ^{2}.(y,z)-B\left\{\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}-C\left\{\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\right\},\\Y=&B\operatorname {Sin} ^{2}.(z,x)-C\left\{\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}-A\left\{\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\right\},\\Z=&C\operatorname {Sin} ^{2}.(x,y)-A\left\{\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}-B\left\{\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y)\right\},\\\end{aligned}}$

et de là on conclura

$\Pi ^{2}=\left\{{\begin{aligned}&A^{2}\operatorname {Sin} ^{2}.(y,z)-2BC\left\{\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(z,x)\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&B^{2}\operatorname {Sin} ^{2}.(z,x)-2CA\left\{\operatorname {Cos} .(z,x)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\+&C^{2}\operatorname {Sin} ^{2}.(x,y)-2AB\left\{\operatorname {Cos} .(x,y)-\operatorname {Cos} .(y,z)\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\end{aligned}}\right\}.$

Ainsi, $a,b,c$ pourront être exprimés immédiatement, en fonction de $d,e,f,g,h,k$ et des angles que forment deux à deux les axes des coordonnées.

Cherchons présentement l’angle de la droite, avec le plan $pq.$ Pour l’obtenir, imaginons une autre droite $r'$ perpendiculaire à ce plan ; nous aurons

$\operatorname {Sin} .(pq,r)=\operatorname {Cos} .(r,r')\,;$

c’est-à-dire (1)

$\operatorname {Sin} .(pq,r)=\left\{{\begin{aligned}&a'\left\{a+b\operatorname {Cos} .(x,y)+c\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\+&b'\left\{b+c\operatorname {Cos} .(y,z)+a\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&c'\left\{c+a\operatorname {Cos} .(z,x)+b\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\\end{aligned}}\right\}$

Mais ici les valeurs de $a',b',c'$ sont les mêmes que celles de $a,b,c$ dans, le cas précèdent ; on aura donc, en substituant,

$\operatorname {Sin} .(pq,r)={\frac {1}{\Delta \Pi }}\left\{{\begin{aligned}&X\left\{a+b\operatorname {Cos} .(x,y)+c\operatorname {Cos} .(z,x)\right\}\\+&Y\left\{b+c\operatorname {Cos} .(y,z)+a\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}\\+&Z\left\{c+a\operatorname {Cos} .(z,x)+b\operatorname {Cos} .(y,z)\right\}\\\end{aligned}}\right\}\,;$

ou, en mettant pour $X,Y,Z$ leurs valeurs

$\operatorname {Sin} .(pq,r)={\frac {\Delta (aA+bB+cC)}{\Pi }}\,;\qquad$(11)

on pourra donc exprimer immédiatement $\operatorname {Sin} .(pq,r)$ en fonction de $a,b,c,d,e,f,g,h,k$ et des angles que forment deux à deux les axes des coordonnées.