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ET DU PLAN.

Cherchons présentement l’angle d’une droite $r$ avec un plan $pq\,;$ et d’abord occupons-nous des conditions de leur perpendicularité. Pour que $r$ soit perpendiculaire à $pq,$ il est nécessaire et il suffit qu’elle le soit à la fois aux deux droites $p$ et $q$ ou, ce qui revient au même, que les cosinus des angles qu’elle forme avec ces deux droites soient nuls, ce qui donne (5)

$\left.{\begin{aligned}a\operatorname {Cos} .(p,x)+b\operatorname {Cos} .(p,y)+c\operatorname {Cos} .(p,z)&=0,\\a\operatorname {Cos} .(q,x)+b\operatorname {Cos} .(q,y)+c\operatorname {Cos} .(q,z)&=0.\\\end{aligned}}\right\}\qquad$(9)

Si l’on combine ces conditions avec la relation (R), en posant, pour abréger,

${\begin{aligned}X=&\operatorname {Cos} .(p,y)\operatorname {Cos} .(q,z)-\operatorname {Cos} .(p,z)\operatorname {Cos} .(q,y),\\Y=&\operatorname {Cos} .(p,z)\operatorname {Cos} .(q,x)-\operatorname {Cos} .(p,x)\operatorname {Cos} .(q,z),\\Z=&\operatorname {Cos} .(p,x)\operatorname {Cos} .(q,y)-\operatorname {Cos} .(p,y)\operatorname {Cos} .(q,x)\,;\\\end{aligned}}$

et ensuite

$\Pi ^{2}={\frac {1}{\Delta ^{2}}}\left\{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+2YZ\operatorname {Cos} .(y,z)+2ZX\operatorname {Cos} .(z,x)+2XY\operatorname {Cos} .(x,y)\right\}$

il viendra

$a={\frac {X}{\Delta \Pi }},\qquad b={\frac {Y}{\Delta \Pi }},\qquad c={\frac {Z}{\Delta \Pi }}.\qquad$(10)

Mais on a (2)

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(p,x)=&d+e\operatorname {Cos} .(x,y)+f\operatorname {Cos} .(z,x),\\\operatorname {Cos} .(p,y)=&e+f\operatorname {Cos} .(y,z)+d\operatorname {Cos} .(x,y),\\\operatorname {Cos} .(p,z)=&f+d\operatorname {Cos} .(z,x)+e\operatorname {Cos} .(y,z)\,;\\\operatorname {Cos} .(q,x)=&g+h\operatorname {Cos} .(x,y)+k\operatorname {Cos} .(z,x),\\\operatorname {Cos} .(q,y)=&h+k\operatorname {Cos} .(y,z)+g\operatorname {Cos} .(x,y),\\\operatorname {Cos} .(q,z)=&k+g\operatorname {Cos} .(z,x)+h\operatorname {Cos} .(y,x).\\\end{aligned}}$

Substituant donc, et posant encore, pour abréger

${\begin{aligned}A=&ek-fh,\\B=&fg-dk,\\C=&dh-eg\,;\\\end{aligned}}$

il viendra