Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/339

331

ET DU PLAN.

${\begin{array}{llll}t''t'''&+u''u'''&+v''v'''&=yz\operatorname {Cos} .(y,z),\\t'''t'&+u'''u'&+v'''v'&=zx\operatorname {Cos} .(z,x),\\t't''&+u'u''&+v'v''&=xy\operatorname {Cos} .(x,y).\\\end{array}}$

Présentement $r$ est diagonale commune de deux parallélépipèdes l’un rectangle ayant pour ses arêtes $t,u,v,$ et l’autre obliquangle, qui a pour arêtes $x,y,z$ dont nous connaissons les projections sur celles du premier ; or, comme on peut aller d’une extrémité de $r$ à son autre extrémité en parcourant ces trois arêtes, il s’ensuit qu’on doit avoir

${\begin{array}{llll}t=&t'&+t''&+t''',\\u=&u'&+u''&+u''',\\v=&v'&+v''&+v'''.\\\end{array}}$

En prenant la somme des quarrés de ces équations, et ayant égard à toutes les relations ci-dessus, on aura

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz\operatorname {Cos} .(y,z)+2zx\operatorname {Cos} .(z,x)+2xy\operatorname {Cos} .(x,y),$

substituant enfin pour $x,y,z$ leurs valeurs données par l’équation (r) et divisant par $r^{2},$ on aura, pour la relation demandée,

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .(y,z)+2ca\operatorname {Cos} .(z,x)+2ab\operatorname {Cos} .(x,y)=1.$ (R)

Il est aisé de voir qu’en supposant

$\left.{\begin{array}{lll}a=1,&b=0,&c=0,\\b=1,&c=0,&a=0,\\c=1,&a=0,&b=0\,;\\\end{array}}\right\}{\text{ r deviendra }}\left\{{\begin{aligned}x,&\\y,&\\z,&\\\end{aligned}}\right\}\qquad$ (I)

Soient

${\begin{aligned}x=\alpha +dp,&\qquad x=\alpha +gq,\\y=\beta +ep,&\qquad y=\beta +hq,\\z=\gamma +fp,&\qquad z=\gamma +kq.\\\end{aligned}}$

Les équations de deux droites passant par un même point. Si par ces deux droites on conçoit un plan, et que sur les grandeurs et directions de $p$ et $q$ on construise un parallélogramme, son sommet variable opposé au point de concours des deux droites sera donné par les trois équations.