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QUESTIONS

proposer pour un tétraèdre quelconque. Soient $\mathrm {E,F}$ les centres de ces sphères et $e,f,$ leurs rayons respectifs.

En désignant simplement les angles dièdres par leurs arêtes, l’angle trièdre $\mathrm {D}$ donnera, par les formules connues,

$\operatorname {Cos} .{\overline {\mathrm {DC} }}={\frac {\operatorname {Cos} .\mathrm {ADB} -\operatorname {Cos} .\mathrm {CDA} \operatorname {Cos} .\mathrm {CDB} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {CDA} \operatorname {Sin} .\mathrm {CDB} }}.$

Mais on a (Probl. I)

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .\mathrm {CDA} =&{\frac {d^{2}+(a+c)d-ac}{(a+d)(c+d)}},\\\operatorname {Cos} .\mathrm {CDB} =&{\frac {d^{2}+(b+c)d-bc}{(b+d)(c+d)}},\\\operatorname {Cos} .\mathrm {ADB} =&{\frac {d^{2}+(a+b)d-ab}{(a+d)(b+d)}},\\\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\mathrm {CDA} =&{\frac {2{\sqrt {acd(a+c+d)}}}{(a+d)(c+d)}},\\\operatorname {Sin} .\mathrm {CDB} =&{\frac {2{\sqrt {bcd(b+c+d)}}}{(b+d)(c+d)}}\,;\\\end{aligned}}$

donc

$\operatorname {Cos} .{\overline {\mathrm {DC} }}={\tfrac {(c+d)^{2}\left\{d^{2}+(a+b)d-ab\right\}-\left\{d^{2}+(a+c)d-ac\right\}\left\{d^{2}+(b+c)d-bc\right\}}{4cd{\sqrt {ab(a+c+d)(b+c+d)}}}}\,;$

ou, en développant et réduisant,

$\operatorname {Cos} .{\overline {\mathrm {DC} }}={\frac {c^{2}(ad+bd-ab)+d^{2}(ac+bc-ab)}{2cd{\sqrt {ab(a+c+d)(b+c+d)}}}}\,;$

de là

$\operatorname {Sin} .{\overline {\mathrm {DC} }}={\frac {(c+d){\sqrt {abcd(a+b+c+d)^{2}-(ab+cd)(ac+bd)(bc+ad)}}}{2cd{\sqrt {ab(a+c+d)(b+c+d)}}}}.$

Si l’on se rappelle que le volume $T$ d’un tétraèdre est les deux tiers du produit des aires de deux de ses faces multiplié par le sinus de leur inclinaison et divisé par l’arête qu’elles déterminent ; et si l’on fait attention (Prob. I) que

$\mathrm {CAD} ={\sqrt {acd(a+c+d)}},\qquad \mathrm {CBD} ={\sqrt {bcd(b+c+d)}},$

on trouvera facilement