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Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/280
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274
PROBLÈMES
F
″
r
=
−
16
x
y
+
12
y
2
+
12
x
2
y
2
−
8
x
y
3
,
G
″
=
4
+
28
x
2
−
20
x
y
+
4
y
2
−
21
x
3
y
−
8
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
12
x
3
y
3
−
4
x
2
y
4
,
H
″
=
−
4
−
12
x
2
+
28
x
y
−
8
y
2
−
4
x
3
y
,
{\displaystyle {\begin{array}{lrrr}{\frac {F''}{r}}=&-16xy&+12y^{2}\\&&+12x^{2}y^{2}&-8xy^{3},\\G''=&4+28x^{2}&-20xy&+4y^{2}\\&&-21x^{3}y&-8x^{2}y^{2}&+4xy^{3}\\&&&&+12x^{3}y^{3}&-4x^{2}y^{4},\\H''=&-4-12x^{2}&+28xy&-8y^{2}\\&&-4x^{3}y,\\\end{array}}}
d’où il résulte
d
z
″
d
λ
=
u
3
r
2
v
(
p
u
3
−
q
r
2
)
5
(
p
2
u
6
F
″
r
−
p
q
r
u
3
G
″
+
q
2
r
3
H
″
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} z''}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {u^{3}r^{2}v}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{5}}}\left(p^{2}u^{6}{\frac {F''}{r}}-pqru^{3}G''+q^{2}r^{3}H''\right).}
157.
Exemple IV
. On demande la différentielle de
z
‴
=
u
r
4
v
s
‴
(
p
u
3
−
q
r
2
)
3
?
{\displaystyle z'''={\frac {ur^{4}vs'''}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{3}}}?}
On a, pour ce cas,
m
=
1
,
S
‴
=
4
x
−
3
y
−
3
x
2
y
+
x
y
2
+
x
3
y
2
,
ε
=
4
,
M
‴
=
4
−
6
x
y
+
y
2
+
3
x
2
y
2
,
n
=
3
,
N
‴
=
−
3
−
3
x
2
+
2
x
y
+
2
x
3
y
;
{\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{On a, pour ce cas, }}m=1,&S'''=&4x-3y-3x^{2}y+xy^{2}+x^{3}y^{2},\\\varepsilon =4,&M'''=&4-6xy+y^{2}+3x^{2}y^{2},\\n=3,&N'''=&-3-3x^{2}+2xy+2x^{3}y\,;\\\end{array}}}
ce qui donne
F
‴
r
=
−
2
+
10
x
2
−
23
x
y
+
25
y
2
+
13
x
3
y
+
44
x
2
y
2
−
28
x
y
3
−
5
x
4
y
2
−
28
x
3
y
3
+
7
x
2
y
4
+
7
x
4
y
4
G
‴
=
+
2
+
30
x
2
−
56
x
y
+
20
y
2
−
28
x
3
y
+
50
x
2
y
2
−
16
x
y
3
+
5
x
4
y
2
−
19
x
3
y
3
+
5
x
2
y
4
,
+
x
5
y
3
+
5
x
4
y
4
−
x
3
y
5
−
x
5
y
5
{\displaystyle {\begin{array}{lrrrrl}{\frac {F'''}{r}}=-2+10x^{2}&-23xy&+25y^{2}\\&+13x^{3}y&+44x^{2}y^{2}&-28xy^{3}\\&&-5x^{4}y^{2}&-28x^{3}y^{3}&+7x^{2}y^{4}\\&&&&+7x^{4}y^{4}\\G'''=+2+30x^{2}&-56xy&+20y^{2}&\\&-28x^{3}y&+50x^{2}y^{2}&-16xy^{3}\\&&+5x^{4}y^{2}&-19x^{3}y^{3}&+5x^{2}y^{4},\\&&&+x^{5}y^{3}&+5x^{4}y^{4}&-x^{3}y^{5}\\&&&&&-x^{5}y^{5}\\\end{array}}}